O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

M_n gruppada
M_n ⊃ H ⊃ e
yechiluvchan qator mavjud, ya’ni M_n gruppa yechiluvchan.
Demak, biz yuqorida Gal(F, K) Galua gruppasidan M_n yechiluvchan grup- paga inyektiv akslantirish qurgan ekanmiz. Agar biz bu inyektiv akslantirishning gomomorfizm ekanligini ko‘rsatsak, teoremaning isbotiga ega bo‘lamiz.
Aytaylik, bizga ψ₁ va ψ₂ avtomorfizmlar berilgan bo‘lib, ularga (k₁, m₁) va (k₂, m₂) juftliklar mos kelsin. Ya’ni
ψ₁(ζ) = ζ^k1 , ψ₁(θ) = ζ^m1 θ, ψ₂(ζ) = ζ^k2 , ψ₂(θ) = ζ^m2 θ.
U holda ψ₂ ◦ ψ₁ avtomorfizm uchun
(ψ₂ ◦ ψ₁)(ζ) = ψ₂(ζ ) = ψ₂(ζ) = ζ ,
k₁ ^k1 k₁k₂
(ψ₂ ◦ ψ₁)(θ) = ψ₂(ζ^m1 θ) = ψ₂(ζ^m1 )ψ₂(θ) = ζ^k2m1 ζ^m2 θ = ζ^k2m1+m2 θ.

Ushbu tengliklardan esa ψ₂ ◦ ψ₁ avtomorfizmga (k₁k₂, k₂m₁ + m₂) juftlik mos kelishini hosil qilamiz. Demak, Gal(F, K) Galua gruppasidan M_n yechiluvchan gruppaga qurilgan inyektiv akslantirish gomomorfizm, ya’ni monomorfizm bo‘lar ekan. M_n gruppa yechuluvchan bo‘lganligi uchun uning ixtiyoriy qism gruppasi ham yechiluvchan bo‘lib, bundan Gal(F, K) Galua gruppasining ham yechiluvchan ekanligi kelib chiqadi.