O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

6.5.4-ta’rif. Agar (6.8) tenglamaning θ ildizi K maydonning qandaydir radikal kengaytmasiga tegishli bo‘lsa, u holda θ ildiz radikallarda ifodalanadi deyiladi. Agar tenglamaning barcha ildizlari radikallarda ifodalansa, u holda ushbu tenglama radikallarda yechiladi deb ataladi.
Ta’kidlash joizki, θ ildizning radikallarda ifodalanishi uning K maydon ele- mentlari ustida to‘rtta arifmetik amal va n-darajali ildiz chiqarish orqali hosil qilinishi bilan teng kuchli.
6.5.2-tasdiq. Agar f (x) keltirilmas ko‘phadning hech bo‘lmaganda bitta ildizi radikallarda ifodalansa, u holda f (x) = 0 tenglama radikallarda yechiladi.

Isbot. Aytaylik, f (x) keltirilmas ko‘phad bo‘lib, θ uning radikallarda ifodala- nuvchi ildizi bo‘lsin. U holda K ⊂ F radikal kengaytma mavjud bo‘lib, θ ∈ F. O‘z navbatida 6.5.3-teoremaga ko‘ra F maydonni o‘z ichiga olivchi F maydon mavjud bo‘lib, K ⊂ F kengaytma normal radikal kengaytma bo‘ladi. θ ∈ F bo‘lganligi va K ⊂ F kengaytmaning normalligidan, f (x) = 0 tenglamaning barcha ildizlari F maydonda yotishi kelib chiqadi. Demak, f (x) = 0 tenglama radikallarda yechiladi.


6.5.3-tasdiq. Ixtiyoriy normal radikal kengaytmaning Galua gruppasi yechiluv- chan bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, K ⊂ F normal radikal kengaytma berilgan bo‘lsin. U holda Galua nazariyasining fundamental teoremasiga ko‘ra
K = L₀ ⊂ L₁ ⊂ · · · ⊂ L_s−1 ⊂ L_s = F
radikal qatorga Gal(F, K) Galua gruppasining quyidagi qism gruppalari ketma- ketligi mos keladi
Gal(F, K) = H₀ ⊃ H₁ ⊃ · · · ⊃ H_s−1 ⊃ H_s = E, (6.9) bu yerda H_i = Gal(F, L_i).

Ixtiyoriy i (1 ≤ i ≤ s) uchun L_i−1 ⊂ L_i kengaytma normal kengaytma ekan- ligidan H_i = Gal(F, L_i) qism gruppaning H_i−1 = Gal(F, L_i−1) qism gruppada nor- mal bo‘luvchi ekanligini hosil qilamiz. Bundan tashqari, H_i−1/H_i faktor gruppa Gal(L_i, L_i−1) gruppaga izomorf bo‘lib, L_i−1 ⊂ L_i kengaytma sodda radikal ken- gaytma bo‘lganligi uchun 6.5.2-teoremaga ko‘ra H_i−1/H_i faktor gruppa yechiluv- chan bo‘ladi. Demak, (6.9) qator normal qator bo‘lib, uning har bir H_i−1/H_i faktor gruppalari yechiluvchan. Bundan esa Gal(F, K) Galua gruppasining yechi- luvchan ekanligi kelib chiqadi.

Ta’kidlash joizki, 6.5.3-tasdiqning teskarisi umuman olganda o‘rinli emas, ya’ni Galua gruppasi yechiluvchan bo‘lgan ixtiyoriy normal kengaytma radikal ken- gaytma bo‘lavermaydi. Lekin Galua gruppasi yechiluvchan bo‘lgan ixtiyoriy nor- mal kengaytmani o‘z ichiga oluvchi normal radikal kengaytma mavjud. Biz ushbu fakt isbotini keyingi paragrafda keltirib o‘tamiz (6.6.2-teoremaga qarang). Galua teoremasi deb yuritiladigan quyidagi asosiy teoremaning isbotida esa biz ushbu faktdan foydalanamiz.