O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

3.1.1-lemma. Aytaylik, G gruppa uchun |G| = p^k bo‘lib, a ∈ G element tartibi eng katta bo‘lgan element bo‘lsin. U holda shunday B ⊂ G qism gruppa mavjud bo‘lib, G = ⟨a⟩ ⊕ B yoyilma o‘rinli.
Isbot. Aytaylik, ord(a) = p^r bo‘lib, H qism gruppa H ∩ ⟨a⟩ = 0 shartni qanoatlantiruvchi maksimal qism gruppa bo‘lsin. Ushbu ⟨a⟩ va H qism grup- palarning to‘g‘ri yig‘indisini G₀ = H ⊕ ⟨a⟩ kabi belgilaymiz. Agar G₀ = G bo‘lsa, u holda B = H bo‘lib, lemmaning isboti kelib chiqadi.
Faraz qilaylik, G₀ /= G bo‘lsin, u holda b ∈ G \ G₀ element mavjud bo‘lib, ord(b) = p^s, 1 ≤ s ≤ r. Endi G\G₀ to‘plamdan tartibi minimal bo‘lgan x elementni tanlab olamiz, ya’ni x ∈ G \ G₀ bo‘lib, ∀b ∈ G \ G₀ uchun ord(x) ≤ ord(b).

p
Agar px elementni qarasak, u holda ord(px) = ^ord(x) ekanligidan va ord(x) ning

minimalligidan px ∈ G₀ ekanligi kelib chiqadi. U holda shunday l ∈ Z va y ∈ H

r

∈

elementlar topilib, px = la + y bo‘ladi. p soni gruppaning elementlari tartibla- rining eng kattasi bo‘lganligi uchun gruppaning ixtiyoriy c G elementi uchun p^rc = 0. Xususan, p^rx = 0, u holda biz quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz
0 = p^rx = p^r−1(px) = p^r−1(la + y) = p^r−1la + p^r−1y.

r−1 r
Bundan esa, p^r−1la = −p^r−1y ∈ ⟨a⟩⊕H ekanligi, ya’ni p^r−1la = 0 kelib chiqadi. Demak, p l soni p ga bo‘linadi, bu esa l soni p ga bo‘linishini anglatadi, ya’ni l = pt. Shunday qilib, biz px = la + y = pta + y ekanligini, ya’ni p(x − ta) = y bo‘lishini hosil qildik. Ushbu x − ta element H qism gruppada yotmaydi, chunki agar x − ta ∈ H bo‘lsa, u holda x ∈ ta + H bo‘lib, x ∈ G₀ ekanligi kelib chiqadi. Demak, ⟨x − ta⟩ ⊕ H qism gruppa H gruppadan kattaroq qism gruppa bo‘ladi. H gruppa H ∩ ⟨a⟩ = 0 shartni qanoatlantiruvchi maksimal qism gruppa bo‘lganligi uchun

⟨x − ta⟩ ⊕ H ∩ ⟨a⟩ = 0.
Demak, shunday k, m ∈ Z sonlari va z ∈ H element topilib, m(x − ta) + z =
ka /= 0 bo‘ladi. Bundan esa,
mx = (mt + k)a − z ∈ ⟨a⟩ ⊕ H = G₀
ekanligi kelib chiqadi.

Agar m soni p ga bo‘linsa, u holda p(x − ta) ∈ H ekanligidan m(x − ta) ∈ H
bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa ziddiyat, chunki ka = m(x − ta) + z ∈/ H.
Agar m soni p ga bo‘linmasa, u holda shunday u, v butun sonlar topilib,
up + vm = 1 bo‘ladi. Endi px, mx ∈ G₀ ekanligini hisobga olib,
x = 1 · x = (up + vm)x = u(px) + v(mx) ∈ G₀

bo‘lishini hosil qilamiz. Bu esa G₀ G ekanligiga zid, demak, G = ⟨a⟩ ⊕ H.

Quyidagi misolda tartibi p² ga teng bo‘lgan siklik bo‘lmagan abel gruppalari- ning tasnifini keltiramiz.