O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

3.2.4-teorema. Agar F_k erkin gruppaning {a₁, a₂, . . . , a_k} bazisini G gruppa ele- mentlariga o‘tkazuvchi ϕ akslantirish berilgan bo‘lsa, u holda f (a_i) = ϕ(a_i), 1 ≤ i ≤ k shartni qanoatlantiruvchi f : F_k → G gomomorfizm mavjud va yagona.
Isbot. Aytaylik, ϕ(a_i) = b_i, 1 ≤ i ≤ k bo‘lsin. Ixtiyoriy x ∈ F_k element uchun
x = n₁a₁ + n₂a₂ + · · · + n_ka_k
ekanligidan foydalanib, f : F_k → G akslantirishni f (x) = n₁b₁ + n₂b₂ + · · · + n_kb_k kabi aniqlaymiz. U holda, f (a_i) = ϕ(a_i), 1 ≤ i ≤ k bo‘lib, ushbu akslantirish gomomorfizm bo‘ladi. Haqiqatdan ham, ixtiyoriy x, y ∈ F_k uchun
x = n₁a₁ + n₂a₂ + · · · + n_ka_k, y = m₁a₁ + m₂a₂ + · · · + m_ka_k
bo‘lsa, u holda x + y = (n₁ + m₁)a₁ + (n₂ + m₂)a₂ + · · · + (n_k + m_k)a_k bo‘lib,
f (x + y) = (n₁ + m₁)b₁ + (n₂ + m₂)b₂ + · · · + (n_k + m_k)b_k =
= n₁a₁ + n₂a₂ + · · · + n_ka_k + m₁a₁ + m₂a₂ + · · · + m_ka_k = f (x) + f (y).
Ixtiyoriy g : F_k → G gomomorfizm g(a₁), g(a₂), . . . , g(a_k) elementlar orqali bir qiymatli aniqlanganligi sababli f (a_i) = ϕ(a_i), 1 ≤ i ≤ k shartni qanoatlantiruvchi gomomorfizmning yagona ekanligi kelib chiqadi.
Yuqoridagi teoremadan ko‘rinadiki, ixtiyoriy F_k erkin gruppaning bazisini G abel gruppasiga o‘tkazuvchi akslantirishni gomomorfizmgacha davom ettirish mumkin hamda bunday gomomorfizm yagona ravishda aniqlanadi. Quyidagi teo- remada esa, hosil qiluvchilari soni chekli bo‘lgan ixtiyoriy abel gruppa erkin abel gruppaning gomomorf obrazi bo‘lishini ko‘rsatamiz.