O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

3.2.1-lemma. Bizga F_k abel gruppasi va uning {a₁, a₂, . . . , a_k} bazisi berilgan bo‘lsin. Agar F_k gruppadan qandaydir G abel gruppasiga f : F_k → G va g : F_k → G gomomorfizmlar berilgan bo‘lib, f (a_i) = g(a_i), 1 ≤ i ≤ k bo‘lsa, u holda f = g bo‘ladi.

Isbot. Ixtiyoriy x ∈ F_k element uchun x = n₁a₁ + n₂a₂ +· · · + n_ka_k bo‘lganligi uchun
f (x) = f (n₁a₁ + n₂a₂ + · · · + n_ka_k) = n₁f (a₁) + n₂f (a₂) + · · · + n_kf (a_k)
= n₁g(a₁) + n₂g(a₂) + · · · + n_kg(a_k) = g(x) tenglikdan f = g kelib chiqadi.
^{3.2.2-lemma. Fk ⊕ Fs ∼}= ^Fk+s.
Isbot. Bizga F_k va F_s abel gruppalari berilgan bo‘lib, ularning bazislari mos ravishda {a₁, a₂, . . . , a_k} va {b₁, b₂, . . . , b_s} bo‘lsin. U holda
{a₁, a₂, . . . , a_k, b₁, b₂, . . . , b_s} elementlar to‘plami F_k ⊕F_s gruppaning bazisi bo‘ladi. Haqiqatdan ham, ixtiyoriy x ∈ F_k ⊕ F_s uchun x = y + z, y ∈ F_k, z ∈ F_s bo‘lganligi va
y = n₁a₁ + n₂a₂ + · · · + n_ka_k, z = m₁b₁ + m₂b₂ + · · · + m_sb_s,
ekanligidan
x = y + z = n₁a₁ + n₂a₂ + · · · + n_ka_k + m₁b₁ + m₂b₂ + · · · + m_sb_s
kelib chiqadi. Ya’ni F_k ⊕ F_s gruppaning ixtiyoriy elementi
a₁, a₂, . . . , a_k, b₁, b₂, . . . , b_s
elementlarning chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalanadi.
Endi bu elementlar to‘plamining chiziqli erkli ekanligini ko‘rsatamiz. Aytaylik,
n₁a₁ + n₂a₂ + · · · + n_ka_k + m₁b₁ + m₂b₂ + · · · + m_sb_s = 0 bo‘lsin. U holda
n₁a₁ + n₂a₂ + · · · + n_ka_k = −(m₁b₁ + m₂b₂ + · · · + m_sb_s) ∈ F_k ∩ F_s
bo‘lib, ularning nolga teng ekanligi kelib chiqadi. Ya’ni
n₁a₁ + n₂a₂ + · · · + n_ka_k = 0, m₁b₁ + m₂b₂ + · · · + m_sb_s = 0.
Bundan esa, n₁ = n₂ = · · · = n_k = 0 va m₁ = m₂ = · · · = m_s = 0 kelib chiqadi.
^{Demak, rk(Fk ⊕ Fs) = k + s. Bundan esa, Fk ⊕ Fs ∼}= ^{Fk+s kelib chiqadi.}

′
3.2.3-lemma. Agar G va G^′ abel gruppalari berilgan bo‘lib, f : G → G^′ va g : G^′ → G gomomorfizmlar uchun f ◦ g = 1_G^′ bo‘lsa, ya’ni f ◦ g akslantirish G da ayniy bo‘lsa, u holda quyidagilar o‘rinli:

1) Kerg = {0}.

2. 
   
   Imf = G^′.
   
3. 
   
   Kerf ⊕ Img = G.
   

Isbot. 1) Agar y ∈ Kerg bo‘lsa, u holda g(y) = 0 bo‘lib,
y = (f ◦ g)(y) = f (g(y)) = f (0) = 0.
Demak y = 0, ya’ni Kerg = {0}.

2. 
   

   ′
   Agar y ∈ G^′ bo‘lsa, u holda y = (f ◦ g)(y) = f (g(y)) ∈ Img ekanligidan Imf = G kelib chiqadi.

   
   
3. 
   
   Ixtiyoriy x ∈ G elementni x = x − g(f (x)) + g(f (x)) deb yozib olsak,
   

f (x − g(f (x))) = f (x) − (f ◦ g)(f (x)) = f (x) − f (x) = 0.
Demak, x − g(f (x)) ∈ Kerf. Ikkinchi tomondan esa, g(f (x)) ∈ Img. Bu esa, ixtiyoriy x ∈ G element x = y + z kabi ifodalanishini bildiradi, bu yerda
y = x − g(f (x)) ∈ Kerf, z = g(f (x)) ∈ Img.
Endi Kerf ∩ Img = {0} ekanligini ko‘rsatamiz. Aytaylik, a ∈ Kerf ∩ Img bo‘lsin. U holda f (a) = 0 va qandaydir y ∈ G^′ uchun a = g(y). Bundan esa,
a = g(y) = g (f ◦ g)(y) = g f (g(y)) = g(f (z)) = g(0) = 0 kelib chiqadi. Demak, Kerf ∩ Img = 0, ya’ni G = Kerf ⊕ Img.
Biz yuqorida hosil qiluvchi elementlari soni chekli bo‘lgan gruppalar har doim ham erkin abel gruppasi bo‘lavermasligini ta’kidlagan edik. Quyidagi teoremada ularning erkin abel gruppasi bo‘lishining zaruriy va yetarlilik shartini keltiramiz.
3.2.3-teorema. Hosil qiluvchilari soni chekli bo‘lgan abel gruppasi erkin abel gruppasi bo‘lishi uchun uning buralishga ega bo‘lmasligi, ya’ni T (G) = {0} bo‘lishi zarur va yetarli.