O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

4.1.2-teorema. Aytaylik, G gruppaning X to‘plamga ta’siri aniqlangan bo‘lsin.

1. 
   
   Agar a, b ∈ X elementlar uchun a ∼ b bo‘lsa, u holda St(a) va St(b) gruppalar o‘zaro qo‘shma bo‘ladi.
   
2. 
   
   Agar G chekli gruppa bo‘lib, X chekli to‘plamning ekvivalentlik munosabati orqali kesishmaydigan sinflarga yoyilmasi X = orb(a₁)∪orb(a₂)∪· · ·∪orb(a_r) ko‘rinishida bo‘lsa, u holda
   

Σ
r

|X| = [G : St(a_i)].
i=1


Isbot. 1) Aytaylik, a, b ∈ X elementlar uchun a ∼ b bo‘lsin. U holda shunday g ∈ G element topilib, b = g ٨ a bo‘ladi, bundan esa, a = g⁻¹ ٨ b kelib chiqadi. Ixtiyoriy g · h · g⁻¹ ∈ gSt(a)g⁻¹ elementni qaraymiz, bu yerda h ∈ St(a), ya’ni h ٨ a = a. U holda
(g · h · g⁻¹) ٨ b = g ٨ (h ٨ (g⁻¹ ٨ b)) = g ٨ (h ٨ a) = g ٨ a = b.

⊆

−1

Demak, g · h · g⁻¹ ∈ St(b), bundan esa, gSt(a)g⁻¹ ⊆ St(b) hosil bo‘ladi. Xuddi shunga o‘xshab g St(b)g St(a) ekanligini ham ko‘rsatish mumkin. Natijada biz gSt(a)g⁻¹ = St(b) tenglikka ega bo‘lamiz, ya’ni St(a) va St(b) qism gruppalar o‘zaro qo‘shma.
2) 4.1.1-teoremaga ko‘ra X to‘plam kesishmaydigan sinflarning birlashmasi ko‘rinishida ifodalanadi. X to‘plam chekli bo‘lganligi uchun, uni r ta sinfning

[G : St(a_i)]

i=1

birlashmasi ko‘rinishida yozish mumkin. 4.1.1-lemmaga ko‘ra |X| =

ekanligini hosil qilamiz.
_Σr




Endi G gruppaning X to‘plamga ta’siri yordamida G gruppani S(X) o‘rin almashtirishlar gruppasiga akslantiruvchi gomomorfizm qurish mumkinligini ko‘rsatamiz. Dastlab, ixtiyoriy g ∈ G element uchun τ_g : X → X akslantirishni τ_g(a) = g٨a kabi aniqlaymiz. Ushbu τ_g akslantirish o‘zaro bir qiymatli akslantirish bo‘ladi. Chunki,

τ_g(a) = τ_g(b) ⇒ g ٨ a = g ٨ b ⇒ a = b

munosabatdan uning inyektiv ekanligi kelib chiqsa, g ٨ (g⁻¹ ٨ b) = b tenglikdan
∀b ∈ X uchun a = g⁻¹ ٨ b element topilishi, ya’ni akslantirishning syurektiv
ekanligi kelib chiqadi. Demak, τ_g ∈ S(X). Bundan tashqari, g₁, g₂ ∈ G elementlar va ∀a ∈ X uchun

τ_g1·g2 (a) = (g₁ · g₂) ٨ a = g₁ ٨ (g₂ ٨ a) = τ_g1 (g₂ ٨ a) = τ_g1 (τ_g2 (a)) = (τ_g1 ◦ τ_g2 )(a) tengliklardan τ_g1·g2 = τ_g1 ◦ τ_g2 kelib chiqadi.
Endi G gruppadan S(X) o‘rin almashtirishlar gruppasiga ψ : G → S(X)
akslantirishni quyidagicha aniqlaymiz
ψ(g) = τ_g, ∀g ∈ G.
U holda ψ akslantirsih uchun
ψ(g₁ · g₂) = τ_g1·g2 = τ_g1 ◦ τ_g2 = ψ(g₁) ◦ ψ(g₂)
tengliklarning bajarilishini, ya’ni uning gomomorfizm ekanligini hosil qilamiz.
Agar X to‘plam sifatida G gruppaning biror H qism gruppasi barcha chap qo‘shni sinflari to‘plamini olsak, ya’ni X = {aH|a ∈ G} deb olsak, u holda 4.1.3- misolga ko‘ra G gruppaning ushbu to‘plamga ta’sirini g(aH) = (g · a)H kabi aniqlash mumkin. Demak, yuqoridagi mulohazalar yordamida ψ : G → S(X) gomomorfizm aniqlanadi. Ushbu tasdiq Kelining umumlashgan teoremasi deb nomlanadi.