O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

4.1.1-tasdiq. Aytaylik, G gruppa va uning H qism gruppasi berilgan bo‘lib, X = {aH|a ∈ G} bo‘lsin. U holda ψ : G → S(X) gomomorfizm mavjud bo‘lib, Kerψ ⊆ H.
Isbot. Tasdiqni isbotlash uchun Kerψ ⊆ H ekanligini ko‘rsatish kifoya. Ix- tiyoriy g ∈ Kerψ olsak, u holda ψ(g) = τ_g akslantirish X to‘plamdagi bir- lik akslantirish bo‘ladi, ya’ni ∀aH ∈ X uchun τ_g(aH) = aH. Bundan esa, g(aH) = aH, ∀aH ∈ X ekanligi, xususan gH = H, ya’ni g ∈ H kelib chiqadi. Demak, Kerψ ⊆ H.
Quyidagi natijada G gruppaning H qism gruppasi bo‘yicha indeksi orqali nor- mal qism gruppasi mavjudligini aniqlash kriteriyasini keltiramiz.
4.1.1-natija. Aytaylik, G gruppa va ining indeksi n ga teng bo‘lgan H xos qism gruppasi berilgan bo‘lsin. Agar G gruppaning tartibi n! ning bo‘luvchisi bo‘lmasa, u holda G gruppa notrivial normal bo‘luvchiga ega.
Isbot. 4.1.1-tasdiqqa ko‘ra, ψ : G → S(X) gomomorfizm mavjud bo‘lib, ^{Kerψ ⊆ H bo‘ladi. Bundan esa, G/Kerψ ∼}= ^{ψ(G) ⊂ S(X) kelib chiqadi. H} qism gruppaning indeksi n ga teng bo‘lganligi uchun |X| = n, ya’ni |S(X)| =
n!, demak ψ(G) gruppaning tartibi n! ning bo‘luvchisi bo‘ladi. Ya’ni |G/Kerψ|
soni ham n! ning bo‘luvchisi. Lekin G gruppaning tartibi n! ning bo‘luvchisi

bo‘lmaganligi uchun |Kerψ| = 1 kelib chiqadi. Ixtiyoriy gomomorfizmning yadrosi

normal bo‘luvchi bo‘lganligi hamda Kerψ /= e va Kerψ ⊆ H ekanligidan uning
notrivial normal bo‘luvchi ekanligi kelib chiqadi.
Endi qo‘zg‘almas nuqta ta’rifini kiritamiz.


4.1.2-ta’rif. Aytaylik, G gruppaning X to‘plamga ta’siri aniqlangan bo‘lsin. Agar g ٨ a = a tenglik bajarilsa, u holda a ∈ X element g ∈ G elementga nisbatan qo‘zg‘almas nuqta deyiladi. Agar a ∈ X element G gruppaning barcha ele- mentlariga nisbatan qo‘zg‘almas bo‘lsa, u holda u G gruppaga nisbatan qo‘zg‘almas nuqta deyiladi.
X^g orqali X to‘plamning g elementga nisbatan qo‘zg‘almas nuqtalar to‘plamini belgilaymiz, ya’ni
X^g = {a ∈ X | g ٨ a = a}.
X to‘plamning berilgan ta’sirdagi orbitalar sonini |X/G| kabi belgilaymiz. Ushbu teoremada orbitalar sonini qo‘zg‘almas nuqtalar soni orqali beruvchi ifodasi kelti- riladi.