O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

4.2.6-teorema (Silovning uchinchi teoremasi). Chekli gruppaning Silov p-qism gruppalari soni gruppa tartibini bo‘lib, p modul bo‘yicha 1 bilan taqqosla- nuvchi bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, G gruppa uchun n = |G| = p^k · m, k ≥ 1, (p, m) = 1 bo‘lsin. G gruppaning barcha qism gruppalari to‘plamini S(G) = {H | H ≤ G} kabi, barcha Silov p-qism gruppalari sonini esa n_p kabi belgilaymiz. Berilgan G gruppaning S(G) = {H | H ≤ G} to‘plamga ta’sirini quyidagicha aniqlaymiz:
g ∗ H = g · H · g⁻¹, ∀g ∈ G, ∀H ∈ S(G),
ya’ni, ta’sir orqali H qism gruppa o‘ziga qo‘shma bo‘lgan qism gruppaga o‘tadi.
Silovning ikkinchi teoremasiga ko‘ra, ushbu ta’sir orqali barcha Silov p-qism gruppalari bitta orbitada yotishi kelib chiqadi. Demak, qandaydir S Silov p-qism gruppasi uchun n_p = |orb(S)| bo‘ladi. |G| = |orb(S)| · |St(S)| tenglikdan Silov p-qism gruppalari soni n ning bo‘luvchisi ekanligi kelib chiqadi, ya’ni n_p | n.
Endi n_p = 1 + p · q ekanligini, ya’ni Silov p-qism gruppalari soni p modul bo‘yicha 1 bilan taqqoslanuvchi bo‘lishini ko‘rsatamiz. Buning uchun barcha Silov p-qism gruppalari to‘plamini F = {S₁, S₂, . . . , S_|np|} kabi belgilab, S₁ gruppaning F to‘plamga ta’sirini a ∗ S_i = a · S_i · a⁻¹ kabi aniqlaymiz, bu yerda a ∈ S_i va S_i ∈ F (umuman olganda ixtiyoriy S_i0 uchun ta’sir aniqlash mumkin, umumiylikka ziyon yetkazmagan holda i₀ = 1 deb olib, S₁ gruppa uchun aniqlangan ta’sirni qaraymiz).
Ma’lumki, ∀a ∈ S₁ uchun a · S₁ · a⁻¹ = S₁, ya’ni S₁ nuqta qo‘zg‘almas nuqta bo‘ladi. Demak, ushbu ta’sirga nisbatan |orb(S₁)| = 1. Endi ushbu S₁ nuqta yagona qo‘zg‘almas nuqta ekanligini ko‘rsatamiz. Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni qandaydir i /= 1 uchun S_i nuqta qo‘zg‘almas nuqta bo‘lsin, u holda a · S_i · a⁻¹ = S_i, ∀a ∈ S₁. Bundan esa, S₁ · S_i = S_i · S₁ tenglik kelib chiqadi. U holda 1.4.6- teoremaga ko‘ra bu qism gruppalarning ko‘paytmasi H = S_i·S₁ ham G gruppaning qism gruppasi bo‘ladi.
S₁ va S_i Silov p-qism gruppalari H qism gruppada yotganligi uchun, ular H gruppaning Silov p-qism gruppalari. Bundan esa, Silovning ikkinchi teoremasiga ko‘ra, ular H gruppada ham o‘zaro qo‘shma bo‘ladi, ya’ni ∃h ∈ H topilib, S₁ = h · S_i · h⁻¹. Bundan esa, h = a · b, a ∈ S₁, b ∈ S_i ekanligini hisobga olib,
S₁ = a · b · S_i · (a · b)⁻¹ = a · (b · S_i · b⁻¹) · a⁻¹ = a · S_i · a⁻¹ = S_i
tenglikka ega bo‘lamiz. Demak i = 1.
Shunday qilib, biz S₁ ∗ F → F ta’sir S₁ nuqtadan boshqa qo‘zg‘almas nuqtaga ega emasligini ko‘rsatdik. F to‘plamning elementlari soni orbitalardagi elementlar soni yig‘indilariga teng va faqatgina bitta orbita bitta elementli qolgan orbitalar

elementlari soni |orb(S )| = ^pk

bo‘lib, ular p ga bo‘linganligi uchun n
= 1+p·q

i
tenglik kelib chiqadi.
|St(S_i)| ^p

Demak, Silovning uchinchi teoremasidan G gruppaning tartibi p^k · m ga teng bo‘lsa, u holda uning Silov p-qism gruppalari soni n_p = 1 + pq bo‘lib, n_p | m

ekanligi kelib chiqadi.