O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

4.2.1-ta’rif. Agar gruppaning ixtiyoriy elementi tartibi p tub sonning darajasi ko‘rinishida bo‘lsa, u holda bunday gruppaga p-gruppa deyiladi.

4.2.2-misol.

• 
  
  K₄ – To‘rtinchi tartibli Kleyn gruppasi p-gruppa bo‘ladi (bu yerda p = 2).
  
• 
  
  Ixtiyoriy n = p^k uchun Z_n gruppa p-gruppa bo‘ladi.
  

Agar G gruppaning H qism gruppasi p-gruppa bo‘lsa, u holda H ga G grup- paning p-qism gruppasi deyiladi. Masalan, Z₁₂ gruppa uchun H = {0, 3, 6, 9} gruppa p-qism gruppa (p = 2) bo‘ladi.
Quyidagi teoremada ixtiyoriy p-gruppaning markazi trivial emasligini ko‘rsatamiz.


4.2.3-teorema. Ixtiyoriy notrivial p-gruppaning markazi bittadan ko‘p elementga ega, ya’ni agar |G| = p^k, k > 1 bo‘lsa, u holda |Z(G)| > 1.

Σ
Isbot. Agar Z(G) = G bo‘lsa, u holda teorema isboti to‘g‘ridan to‘g‘ri kelib chiqadi. Aytaylik, Z(G) /= G bo‘lsin, u holda a ∈/ Z(G) elementlar uchun C(a) /= G bo‘lganligidan va C(a) ⊂ G ekanligidan [G : C(a)] sonlari p ga bo‘linishi kelib

chiqadi. Demak, (4.2) tenglikdagi [G : C(a)] soni p ga bo‘linadi. Nihoyat,
a∈/Z(G)
|G| = p^k ekanligidan |Z(G)| ham p ga bo‘linishi kelib chiqadi.
Yuqoridagi teoremadan quyidagi natijaga ega bo‘lamiz.


4.2.1-natija. Tartibi p² (p – tub son) ga teng bo‘lgan ixtiyoriy gruppa kommutativ bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, |G| = p² bo‘lsin, u holda 4.2.3-teoremaga ko‘ra |Z(G)| > 1 bo‘lib, Lagranj teoremasidan |Z(G)| = p yoki p² ekanligi kelib chiqadi. Faraz qilaylik, |Z(G)| = p bo‘lsin, u holda a ∈ G \ Z(G) element mavjud bo‘lib, C(a) gruppa uchun Z(G) ⊂ C(a) va a ∈ C(a) ekanligidan |C(a)| = p² kelib chiqadi. Bundan esa C(a) = G, ya’ni a ∈ Z(G) munosabatga ega bo‘lamiz. Bu esa ziddiyat, demak Z(G) = G, ya’ni G – kommutativ.
Endi bevosita Silov teoremalarini keltirishga o‘tamiz.