O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

4.2.4-teorema (Silovning birinchi teoremasi). Agar |G| = p^k · m bo‘lsa (p−tub son, (p, m) = 1), u holda G gruppaning tartibi p^r(0 ≤ r ≤ k) ga teng bo‘lgan qism gruppasi mavjud.


Isbot. Aytaylik, n = |G| = p^k · m bo‘lsin. Teorema isbotini n ga nisbatan in- duksiya metodi orqali amalga oshiramiz. Agar n = 1 bo‘lsa, u holda k = 0 bo‘lib, G = {e} gruppaning izlanayotgan qism gruppasi o‘zidan iborat bo‘ladi. Demak, n = 1 uchun teorema o‘rinli. Endi n dan kichik tartibli gruppalar uchun teorema o‘rinli deb faraz qilib n uchun ko‘rsatamiz, bunda k ≥ 1 deb olish mumkin.

1. 
   

   ⟨ ⟩
   

   
   { }

   Σ
   hol. G gruppa markazining tartibi p ga bo‘linsin, ya’ni p | |Z(G)|, u holda Z(G) kommutativ gruppaning tartibi p ga teng elementi mavjud (4.2.1-lemmaga qarang), demak shunday a ∈ Z(G) element topilib, ord(a) = p. Ushbu element orqali hosil qilingan H = a gruppa esa G gruppaning normal qism gruppasi bo‘lib, G/H faktor gruppaning tartibi p^k−1 bo‘ladi. Induksiya faraziga ko‘ra G/H gruppa tartibi pⁱ(1 ≤ i ≤ k − 1) bo‘lgan K_i/H qism gruppalarga ega. Ushbu e , H, K₁, . . . K_k−1 gruppalar esa G gruppaning tartiblari mos ravishda 1, p, p², . . . , p^k sonlariga teng bo‘lgan qism gruppalari bo‘ladi.

   
   

2. 
   
   hol. |Z(G)| soni p ga bo‘linmasin. U holda |G| = |Z(G)| +
   

a∈/Z(G)
[G : C(a)]

ekanligidan ushbu tenglikning o‘ng tomonidagi ikkinchi qo‘shiluvchi ham p ga
bo‘linmasligi kelib chiqadi.

Demak, shunday a ∈/
Z(G) element topilib, [G : C(a)] soni p ga bo‘linmaydi.

C(a)

₌ ·
[G : C(a)] = ^|G|
p^k m C(a)
ekanligidan |C(a)| soni p^k ga bo‘linishi, hamda a ∈ C(a),

a ∈/ Z(G) ekanligidan C(a) G kelib chiqadi. Demak, C(a) to‘plam G gruppa-
ning tartibi n dan kichik va p^k ga bo‘linuvchi qism gruppasi. Induksiya faraziga ko‘ra C(a) gruppaning tartibi p^r(0 ≤ r ≤ k) bo‘lgan qism gruppalari mavjud bo‘lib, ular G gruppaning ham qism gruppalari bo‘ladi.
Endi Silov p-qism gruppasining ta’rifini keltiramiz.

·
4.2.2-ta’rif. Tartibi p^k m ga teng bo‘lgan (p – tub son, (p, m) = 1) gruppaning tartibi p^k ga teng bo‘lgan qism gruppasiga Silov p-qism gruppasi deyiladi, ya’ni Silov p-qism gruppa G gruppaning maksimal p-qism gruppasidir.

Ta’kidlash joizki, Silovning birinchi teoremasidan tartibi p soniga bo‘linuvchi ixtiyoriy chekli tartibli gruppa Silov p-qism gruppasiga ega ekanligi kelib chiqadi. Biz endi Silovning ikkinchi teoremasini keltiramiz. Silovning ikkinchi teore- masida G gruppaning ixtiyoriy p-qism gruppasi qandaydir Silov p-qism gruppasida yotishi va gruppaning barcha Silov p-qism gruppalari o‘zaro qo‘shma bo‘lishi

ko‘rsatiladi.