O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

4.3.1-natija. Agar p va q (p < q) tub sonlari berilgan bo‘lib, q − 1 soni p ga bo‘linmasa, u holda tartibi pq ga teng bo‘lgan gruppa siklik bo‘ladi.
Endi yuqoridagi natijalardan foydalanib, tartibi 60 dan kichik bo‘lgan nokom- mutativ sodda gruppa mavjud emasligini ko‘rsatamiz. 4.3.1-teoremaga ko‘ra tar- tibi
8, 9, 16, 25, 27, 32, 49
ga teng bo‘lgan gruppalar sodda emas. 4.3.2-teoremadan esa tartibi quyidagi sonlarga teng bo‘lgan gruppalarning sodda emasligi kelib chiqadi:
6 = 3 · 2, 10 = 5 · 2, 14 = 7 · 2, 15 = 5 · 3, 21 = 7 · 3, 22 = 11 · 2,
26 = 13 · 2, 33 = 11 · 3, 34 = 17 · 2, 35 = 7 · 5, 38 = 19 · 2, 39 = 13 · 3,
46 = 23 · 2, 51 = 17 · 3, 55 = 11 · 5, 57 = 19 · 3, 58 = 29 · 2.
Biz 4.1.8-misolda G gruppa H qism gruppaga ega bo‘lib, |G| = pn, |H| = p, (p – tub son, n ≤ p) bo‘lsa, u holda H normal qism gruppa ekanligini isbotlagan edik. Bunga ko‘ra, tartibi 20 = 5 · 4, 28 = 7 · 4, 42 = 7 · 6, 44 = 11 · 4 va 52 = 13 · 4 sonlariga teng bo‘lgan gruppalarning tartiblari mos ravishda 5, 7, 11 va 13 ga teng bo‘lgan normal qism gruppalari mavjud bo‘ladi. Demak, tartibi
20, 28, 42, 44, 52
sonlariga teng bo‘lgan gruppalar ham sodda emas.
Bundan tashqari, 4.1.9-misolga ko‘ra tartibi 2m (m toq son) ga teng gruppalar ham sodda emas. Demak, tartibi 18, 30, 50 va 54 ga teng bo‘lgan gruppalarning ham sodda emasligini hosil qilamiz.

4.1.1-natijaga ko‘ra esa G gruppaning indeksi n ga teng bo‘lgan H xos qism gruppasi mavjud bo‘lib, n! soni gruppaning tartibiga bo‘linmasa, u holda G gruppa notrivial normal bo‘luvchiga ega. Tartibi 12 ga teng bo‘lgan gruppaning tartibi 4 ga teng bo‘lgan Silov qism gruppasi mavjud bo‘lib, uning indeksi 3 ga teng. 3! = 6 soni 12 ga bo‘linmaganligi uchun tartibi 12 ga teng bo‘lgan gruppaning ham sodda emasligi kelib chiqadi. Xuddi shu mulohaza bilan tartibi 24, 36, 45 va 48 ga teng bo‘lgan gruppalarning ham sodda emasligini hosil qilamiz. Chunki,

• 
  
  |G| = 24 = 3 · 2³ bolsa, |H| = 8 bo‘lgan Silov qism gruppasi mavjud bo‘lib, [G : H] = 3 va 3! soni 24 ga bo‘linmaydi;
  
• 
  
  |G| = 36 = 4 · 3² bolsa, |H| = 9 bo‘lgan Silov qism gruppasi mavjud bo‘lib, [G : H] = 4 va 4! soni 36 ga bo‘linmaydi;
  
• 
  
  |G| = 45 = 5 · 3² bolsa, |H| = 9 bo‘lgan Silov qism gruppasi mavjud bo‘lib, [G : H] = 5 va 5! soni 45 ga bo‘linmaydi;
  
• 
  
  |G| = 48 = 3 · 2⁴ bolsa, |H| = 16 bo‘lgan Silov qism gruppasi mavjud bo‘lib, [G : H] = 3 va 3! soni 48 ga bo‘linmaydi.
  

Quyidagi misollarda tartibi 40 va 56 ga teng bo‘lgan gruppalarning sodda emasligini ko‘rsatamiz.