O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti



Yüklə 0,92 Mb.
səhifə90/178
tarix25.12.2023
ölçüsü0,92 Mb.
#194299
1   ...   86   87   88   89   90   91   92   93   ...   178
Abstrakt algebra-fayllar.org

4.3.6-teorema. Tartibi 60 ga teng bo‘lgan ixtiyoriy sodda gruppa A5 gruppaga izomorf.
Isbot. Aytaylik, G tartibi 60 ga teng bo‘lgan sodda gruppa bo‘lsin. 4.3.1- lemmaga ko‘ra G gruppaning tartibi 12 ga teng bo‘lgan H qism gruppasi mavjud. U holda [G : H] = 5 bo‘lib, 4.1.1-tasdiqqa ko‘ra G gruppani S5 gruppaga aks- lantirib, Kerf ⊆ H shartni qanoatlantiruvchi f : G → S5 gomomorfizm mavjud ekanligi kelib chiqadi. G gruppa sodda bo‘lganligi uchun Kerf = {e}, ya’ni f aks- lantirish inyektiv. Demak, G gruppa S5 gruppaning qandaydir T qism gruppasiga izomorf bo‘ladi. Endi T = A5 ekanligini ko‘rsatamiz, buning uchun T to‘plamda toq o‘rin almashtirish mavjud emasligini ko‘rsatish kifoya. Agar T to‘plamda qandaydir toq o‘rin almashtirish yotsa, u holda T da yotuvchi barcha juft o‘rin almashtirishlar to‘plami T ning notrivial normal qism gruppasi bo‘ladi. Bu esa
ziddiyat, chunki, T gruppa sodda G gruppaga izomorf. Bundan esa, T = A5

ekanligini hosil qilamiz, ya’ni G ∼= A5.



      1. Kichik tartibli gruppalarning tasnifi



Endi tartibi 15 dan katta bo‘lmagan gruppalarning to‘liq tasnifini keltiramiz. Ay- taylik, G gruppaning tartibi n bo‘lsin. Agar n = 1 bo‘lsa, u holda G = {e}. Agar n = 2, 3, 5, 7, 11 yoki 13 bo‘lsa, u holda G siklik bo‘lib, u Zn ga izomorf bo‘ladi.
Agar n = 4 bo‘lsa, u holda G gruppa Z4 va K4 ∼= Z2 × Z2 gruppalardan biriga
izomorf bo‘lishi ma’lum (2.2.1-teoremaga qarang). Agar n = 6 bo‘lsa, u holda
G gruppa Z6 va S3 ∼= D3 gruppalardan biriga izomorf bo‘ladi (2.2.2-teoremaga
qarang).
Agar n = 8 bo‘lib, G nokommutativ bo‘lsa, u holda G gruppa D4 va Q8 gruppalardan biriga izomorf ekanligi 2.2.3-teoremada ko‘rsatilgan edi. Tartibi 8 ga teng bo‘lgan kommutativ gruppalar esa, Z8, Z4 ×Z2 va Z2 ×Z2 ×Z2 gruppalardan iborat bo‘ladi.
Biz 4.3.1-misolda tartibi 9 ga teng bo‘lgan gruppa Z9 va Z3 × Z3 gruppalardan biriga izomorf bo‘lishini ko‘rsatgan bo‘lsak, 4.3.2-misoldan esa, tartibi 15 ga teng bo‘lgan gruppa Z15 ga izomorf ekanligini kelib chiqadi.
Bundan tashqari, 4.3.3-teoremadan tartibi 10 ga teng bo‘lgan gruppa Z10 yoki D5 gruppaga, tartibi 14 ga teng bo‘lgan gruppa esa Z14 yoki D7 gruppalardan biriga izomorf bo‘lishi kelib chiqadi.
Shunday qilib, tartibi 15 gacha bo‘lgan gruppalarning to‘liq tasnifini olish uchun faqatgina tartibi 12 ga teng bo‘lgan gruppalarning tasnifini keltirish ki- foya.
Tartibi 12 ga teng bo‘lgan 5 ta gruppa mavjud bo‘lib, 2 tasi kommutativ va 3 tasi nokommutativ gruppalardir. Kommutativ gruppalar Z12 va Z6 × Z2 gruppalardan biriga izomorf bo‘lsa, quyidagi teoremada tartibi 12 ga teng bo‘lgan nokommutativ gruppalarning tasnifini keltiramiz.

Yüklə 0,92 Mb.

Dostları ilə paylaş:
1   ...   86   87   88   89   90   91   92   93   ...   178




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin