O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

4.3.7-teorema. Tartibi 12 ga teng bo‘lgan nokommutativ gruppalar quyidagi o‘zaro izomorf bo‘lmagan gruppalarning biriga izomorf:

1. 
   
   A₄ – to‘rtinchi tartibli juft o‘rin almashtirishlar gruppasi.
   
2. 
   
   D₆ – oltinchi darajali Diedr gruppasi.
   

3. 
   

   ^
   S₃ = ⟨a, b⟩ – ikkita hosil qiluvchiga ega bo‘lib, a⁶ = e, ba = a⁻¹b va b² = a³

   
   

shartni qanoatlantiruvchu gruppa.


Isbot. Aytaylik, G nokommutativ gruppa bo‘lib, tartibi 12 ga teng bo‘lsin. U holda uning Silov 2-qism gruppalari va Silov 3-qism gruppalari mavjud bo‘lib,
ularning sonini mos ravishda n₂ va n₃ orqali belgilaymiz. Ma’lumki, n₂ = 2k + 1 bo‘lib, n₂ | 12, hamda o‘z navbatida n₃ = 3k + 1 bo‘lib, n₃ | 12. U holda n₂ = 1 yoki 3, o‘z navbatida n₃ = 1 yoki 4 ekanligi kelib chiqadi.

Agar n₂ = 1 va n₃ = 1 bo‘lsa, gruppaning Silov qism gruppalari har ikkalasi ham normal bo‘luvchi bo‘ladi. Bundan esa, G gruppa ushbu gruppalarning to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida yozilishi, ya’ni kommutativ ekanligi kelib chiqadi.

∩ { } ^S

Agar n₂ = 3 va n₃ = 4 bo‘lsa, u holda har biri 3 ta elementdan iborat bo‘lgan turli B₁, B₂, B₃, B₄ Silov 3-qism gruppalari uchun B_i B_j = e bo‘lib, B_i
i
to‘plam 9 ta elementdan iborat bo‘ladi. Ikkinchi tomondan esa 4 ta elementdan
iborat turli A₁, A₂, A₃ Silov 2-qism gruppalarining birlashmasida kamida 6 ta ele- ment mavjud. Bu esa, |G| = 12 ekanligiga zid. Demak, n₂ = 3 va n₃ = 4 bo‘lishi mumkin emas. Shunday qilib, biz n₂ = 1, n₃ = 4 va n₂ = 3, n₃ = 1 bo‘lgan hollarni qarashimiz yetarli ekan.
Aytaylik, n₂ = 1 va n₃ = 4 bo‘lsin, ya’ni G gruppaning bitta Silov 2-qism gruppasi va 3 ta Silov 3-qism gruppalari mavjud. U holda Silov 2-qism gruppa normal qism gruppa bo‘lib, uni K orqali belgilaymiz, H esa biror Silov 3-qism gruppa bo‘lsin, ya’ni K = {e, k₁, k₂, k₃} va H = {e, h₁, h₂}. Ushbu H gruppaning K normal qism gruppaga h ٨ k = hkh⁻¹, ∀h ∈ H, ∀k ∈ K kabi aniqlangan

× →
٨ : H K K ta‘sirini qaraymiz. Agar ushbu ta‘sirning barcha orbitalari bitta elementli bo‘lsa, u holda k = hkh⁻¹, ya’ni kh = hk bo‘lib, G gruppaning kommutativ ekanligi kelib chiqadi. Demak, orbitalar ichida bitta elementdan farqli bo‘lgani mavjud. |H| = 3 ekanligi uchun ushbu orbita ham 3 ta elementdan iborat bo‘ladi. Demak, k₁, k₂, k₃ elementlar bitta orbitada yotadi. Bundan esa, ularning tartiblari bir xil ekanligi, ya’ni 2 ga teng bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, K = {e, k₁, k₂, k₃} gruppa K₄ – to‘rtinchi tartibli Kleyn gruppasiga izomorf bo‘lar ekan.

Bundan tashqari k₁, k₂, k₃ elementlar bitta orbitada yotganligi uchun qanday- dir h ∈ H element uchun
hk₁h⁻¹ = k₂, hk₂h⁻¹ = k₃, hk₃h⁻¹ = k₁
bo‘ladi. Bundan esa, G gruppaning barcha elementlari quyidagi ko‘rinishda bo‘lishi kelib chiqadi
G = {e, k₁, k₂, k₃, h, hk₁, hk₂, hk₃, h², h²k₁, h²k₂, h²k₃}.
Shunday qilib, biz n₂ = 1 va n₃ = 4 bo‘lgan holda G gruppada ko‘paytmalar yagona ravishda aniqlanishini hosil qildik. Ushbu gruppaning A₄ ga izomorf ekan- ligini tekshirish esa qiyin emas.
Endi n₂ = 3 va n₃ = 1 bo‘lgan holni qaraymiz. Ushbu holda H = {e, h₁, h₂}
Silov 3-qism gruppasi yagona bo‘lib, u normal bo‘ladi. Shuning uchun endi

K = {e, k₁, k₂, k₃} Silov 2-qism gruppaning H normal qism gruppaga k٨h = khk⁻¹ ta’sirini qaraymiz. Yuqoridagi kabi, ushbu ta’sirda elementlari soni bittadan ko‘p orbita mavjud bo‘ladi, aks holda G kommutativ bo‘lib qoladi. Bundan esa, ikkita elementdan iborat orbita mavjud bo‘lib, u {h₁, h₂} to‘plamdan iborat ekanligi ke-

lib chiqadi. |St(h₁)| = ^|K| = 2 ekanligidan K to‘plamda birlik elementdan

boshqa k_i0 h₁

= h₁
|orb(h₁)|
k_i0 shartni qanoatlantiruvchi
k_i0
element mavjud ekanligi kelib

chiqadi. Bundan esa ushbu k_i0 element H ning barcha elementlari bilan o‘rin al- mashinuvchi ekanligi kelib chiqib, uning tartibi 2 ga teng ekanligini hosil qilamiz.

Aks holda, ya’ni k_i0 elementning tartibi 4 ga teng bo‘lsa, u holda G kommutativ bo‘lib qoladi. Demak, A = H ∪ k_i0 H to‘plam 6 ta elementdan iborat bo‘lib, u ^{kommutativ qism gruppa bo‘ladi, ya’ni A ∼}= ^Z6.
Endi A qism gruppaning a ∈ A hosil qiluvchi elementini va k ∈ K \ {e, k_i0 }
element olib, kak⁻¹ elementni qaraymiz. Ushbu element uchun kak⁻¹ ∈ A bo‘lib,

^
u a dan farqli bo‘ladi, aks holda G kommutativ bo‘lib qoladi. Bundan tashqari, ord(kak⁻¹) = ord(a) = 6 ekanligidan, kak⁻¹ = a⁻¹ bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, G = A∪ kA bo‘lib, a va b elementlar gruppaning hosil qiluvchi elementlari bo‘ladi, bu yerda ord(a) = 6 bo‘lib, ord(k) esa 2 yoki 4. Agar ord(k) = 2 bo‘lsa, u holda

^{G ∼}= ^{D6 bo‘ladi. Agar ord(k) = 4 bo‘lsa, u holda K ∼}= ^{Z4 bo‘lib, biz S3 gruppani}
hosil qilamiz.

^
Ta’kidlash joizki, biz yuqoridagi teoremada ikkita a, b hosil qiluvchiga ega bo‘lib, a⁶ = e, ba = a⁻¹b va b² = a³ shartni qanoatlantiruvchi S₃ = ⟨a, b⟩ gruppa haqida aytib ketdik. Bu shartlarni qanoatlantiruvchi gruppaning yagona ekanli- gini ko‘rsatish qiyin emas, quyidagi misolda esa, bunday gruppaning mavjudligini ko‘rsatamiz.