O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

4.3.8-misol. Tartibi 455 ga teng bo‘lgan gruppaning siklik ekanligini isbotlang.
Yechish. |G| = 455 = 5 · 7 · 13 bo‘lganligi uchun gruppaning Silov 13-qism gruppasi mavjud va ularning soni n₁₃ = 1 + 13k, n₁₃ | 35. Bundan esa, n₁₃ = 1 ekanligi kelib chiadi. Demak, G gruppaning H Silov 13-qism gruppasi normal bo‘ladi. Bundan esa, N (H) = G kelib chiqadi. Endi Aut(H) ni qarasak, H ning tartibi 13 ga teng bo‘lganligidan |Aut(H)| = 12 ekanligini hosil qilamiz. Bundan tashqari, N (H)/C(H) faktor gruppadan Aut(H) gruppaga monomor- fizm mavjud. Demak, |N (H)/C(H)| soni 12 ning bo‘luvchisi bo‘ladi. Ikkinhi tomondan esa |N (H)/C(H)| soni 455 ning bo‘luvchisi. (455, 12) = 1 ekanligi- dan |N (H)/C(H)| = 1 kelib chiqadi, demak, C(H) = N (H) = G. Bundan esa, H ⊆ Z(G) ekanligiga ega bo‘lamiz. |Z(G)| soni 455 ning bo‘luvchisi bo‘lganligi uchun |Z(G)| = 13, 65, 91 yoki 455 ekanligi, bundan esa, |G/Z(G)| = 35, 7, 5 yoki 1 bo‘lishi kelib chiqadi. Ushbu hollarning barchasida G/Z(G) gruppaning siklik ekanligini, ya’ni kommutativligini hosil qilamiz. Bu esa, G gruppaning yagona K Silov 5-qism gruppaga va yagona L Silov 7-qism gruppaga ega ekanligini anglatadi. Bundan G = H × K × L ekanligi, ya’ni uning siklik bo‘lishi kelib chiqadi. Q

3. Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

1. 
   
   Tartibi 125 ga teng bo‘lgan ixtiyoriy gruppaning sodda emasligini ko‘rsating.
   
2. 
   
   Tartibi 65 ga teng bo‘lgan ixtiyoriy gruppaning sodda emasligini ko‘rsating.
   
3. 
   
   Tartibi 130 ga teng bo‘lgan ixtiyoriy gruppaning sodda emasligini ko‘rsating.
   
4. 
   
   Tartibi 75 ga teng bo‘lgan ixtiyoriy gruppaning sodda emasligini ko‘rsating.
   
5. 
   
   Tartibi 96 ga teng bo‘lgan ixtiyoriy gruppaning sodda emasligini ko‘rsating.
   
6. 
   
   Tartibi 150 ga teng bo‘lgan ixtiyoriy gruppaning sodda emasligini ko‘rsating.
   
7. 
   
   Tartibi 200 ga teng bo‘lgan ixtiyoriy gruppaning sodda emasligini ko‘rsating.
   

8. 
   
   Tartibi 133 ga teng bo‘lgan gruppaning siklik ekanligini ko‘rsating.
   
9. 
   
   Tartibi 665 ga teng bo‘lgan gruppaning siklik ekanligini ko‘rsating.
   
10. 
    
    Yagona Silov 2-qism gruppaga ega bo‘lib, tartibi 100 bo‘lgan gruppaning kommutativ ekanligini isbotlang.
    
11. 
    
    Tartibi 70 ga teng bo‘lgan gruppaning tartibi 35 ga teng bo‘lgan siklik qism gruppasi mavjud ekanligini isbotlang.
    
12. 
    
    Tartibi 385 ga teng bo‘lgan gruppaning Silov 7-qism gruppasi gruppa markaziga qism ekanligini isbotlang.
    
13. 
    
    Tartibi 1045 ga teng bo‘lgan gruppaning Silov 11-qism gruppasining normal bo‘lishini va Silov 19-qism gruppasi gruppa markaziga qism ekanligini isbot- lang.
    
14. 
    
    Tartibi 627 ga teng bo‘lgan gruppaning Silov 19-qism gruppasining normal bo‘lishini va Silov 11-qism gruppasi gruppa markaziga qism ekanligini isbot- lang.
    
15. 
    
    Tartibi 168 ga teng bo‘lgan sodda gruppaning sakkizta Silov 7-qism gruppasi mavjudligini va tartibi 14 ga teng qism gruppasi mavjud emasligini ko‘rsating.
    
16. 
    
    Izomorfizm aniqligida tartibi 70 ga teng bo‘lgan barcha gruppalarni toping.
    
17. 
    
    D_n diedr gruppasining markazini toping.
    
18. 
    
    D_2n va D_2n+1 gruppalarning qo‘shma sinflarini toping.
    
19. 
    
    Agar G gruppaning tartibi p²q² ga teng bo‘lsa, (p, q – tub sonlar va p > q) u holda uning Silov p-qism gruppalari sonini aniqlang.
    
20. 
    
    Tartibi p²q² ga teng bo‘lgan ixtiyoriy gruppaning sodda emasligini ko‘rsating.
    

4.