O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

4.4.8-teorema. Agar G gruppa nilpotent bo‘lsa, u holda n natural soni mavjud bo‘lib, G = Z_n(G) bo‘ladi.
Isbot. Gruppa nilpotent ekanligidan
{e} = G₀ ⊆ G₁ ⊆ G₂ ⊆ · · · ⊆ G_n = G

j+1
markaziy qator mavjud ekanligi kelib chiqadi. Ya’ni G_i/G_i−1 ⊆ Z(G/G_i−1). Teo- remani isbotlash uchun induktiv tarzda G_i ⊆ Z_i(G) ekanligini ko‘rsatamiz. i = 0 uchun G₀ = {e} = Z₀(G) bo‘lib, induksiya bazasi o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Aytaylik, G_j ⊆ Z_j(G) bo‘lsin, u holda [G_j+1, G] ⊆ G_j ⊆ Z_j(G) ekanligidan foy- dalansak, ∀g_j+1 ∈ G_j+1 va ∀g ∈ G uchun g⁻¹ g⁻¹g_j+1g ⊆ Z_j(G) kelib chiqadi. Bundan g_j+1Z_j(G) · gZ_j(G) = gZ_j(G) · g_j+1Z_j(G) tenglikka ega bo‘lamiz. Bu esa g_j+1Z_j(G) ∈ Z(G/Z_j(G)) = Z_j+1(G)/Z_j(G) ekanligini, ya’ni g_j+1 ∈ Z_j+1(G) bo‘lishini anglatadi. Demak, G_j+1 ⊆ Z_j+1(G). U holda G_n = G ekanligidan Z_n(G) = G bo‘lishi kelib chiqadi.

Quyidagi lemmada yuqori markaziy qator uchun o‘rinli bo‘ladigan xossalardan birini keltiramiz.
4.4.1-lemma. Agar G gruppa H va K gruppalarning to‘g‘ri ko‘paytmasidan iborat bo‘lsa, ya’ni G = H × K bo‘lsa, u holda Z_i(G) = Z_i(H) × Z_i(K) bo‘ladi.
Isbot. Lemmani i ga nisbatan induksiya usulidan foydalanib isbotlaymiz.
Agar i = 1 bo‘lsa, u holda
Z₁(G) = Z(G) = Z(H × K) = Z(H) × Z(K) = Z₁(H) × Z₁(K)
ekanligidan lemmaning o‘rinli bo‘lishi kelib chiqadi.
Faraz qilaylik, lemmadagi tenglik i = k uchun o‘rinli bo‘lsin, ya’ni Z_k(G) = Z_k(H) × Z_k(K). Biz uni i = k + 1 uchun o‘rinli ekanligini ko‘rsatamiz. Ma’lumki, Z_k+1(G) qism gruppa G gruppaning Z_k(G) ⊆ Z_k+1(G) va Z_k+1(G)/Z_k(G) = Z(G/Z_k(G)) shatlarni qanoatlantiruvchi yagona normal qism gruppasi. Tabiiy

= Z

(H × K)/Z_k(H) × Z_k(K)

Z(G/Z_k(G)) = Z (H × K)/Z_k(H × K)

ravishda aniqlanuvchi quyidagi ψ : H/Z_i(H) × K/Z_i(K) → (H × K)/Z_i(H × K) izomorfizmni qaraymiz. U holda

= Z ψ((H/Z_k(H)) × (K/Z_k(K)))

= ψ Z_k+1(H)/Z_k(H) × Z_k+1(K)/Z_k(K)

= ψ

=

Z(H/Z_k(H)) × Z(K/Z_k(K))

= ψ Z(H/Z_k(H) × K/Z_k(K))

Z_k+1(H) × Z_k+1(K)

/Z_k(H × K)
= Z_k+1(H) × Z_k+1(K) /Z_k(G).
Demak, Z_k+1(G) = Z_k+1(H) × Z_k+1(K).
Yuqoridagi lemmadan nilpotent gruppalarning to‘g‘ri ko‘paytmasi yana nilpo- tent bo‘lishi kelib chiqadi. Chunki, agar H va K gruppalar nilpotent bo‘lsa, u holda Z_n(H) = H va Z_n(K) = K bo‘lib, Z_n(H × K) = Z_n(H) × Z_n(K) = H × K ekanligidan ularning to‘g‘ri ko‘paytmasi ham nilpotent bo‘lishini hosil qilamiz. Ushbu mulohazani umumlashtirgan holda quyidagi teoremaga ega bo‘lamiz.
4.4.9-teorema. Agar G₁, G₂, . . . , G_n gruppalar nilpotent bo‘lsa, u holda G₁×G₂×
· · · × G_n gruppa ham nilpotent bo‘ladi.
Quyidagi teoremada biz gruppaning nilpotent bo‘lishiga ekvivalent bo‘lgan bir qancha shartlarni keltiramiz. Xususan, ushbu teorema nilpotent gruppalarni p- gruppalar orqali to‘liq tasniflash imkonini beradi.