O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

4.4.11-teorema. Aytaylik, G nilpotent gruppa bo‘lib, |G| = m bo‘lsin. Agar n | m
bo‘lsa, u holda G gruppa tartibi n ga teng bo‘lgan qism gruppaga ega.

1

2

k
Isbot. Aytaylik, m = p^r1 p^r2 . . . p^rk bo‘lib, H_i, 1 ≤ i ≤ k qism gruppalar G
gruppaning Silov p-qism gruppalari bo‘lsin. U holda G = H₁ × H₂ × H · · · ×

1

2

k
H_k bo‘lib, ixtiyoriy n | m soni n = p^t1 p^t2 . . . p^tk ko‘rinishida bo‘ladi. |H_i| =

i

i

p
^ri bo‘lganligi uchun bu qism gruppalarning tartibi p^ti ga teng bo‘lgan A_i qism
gruppalari mavjud. U holda B = A₁ × A₂ × · · · × A_k qism gruppaning tartibi n
ga teng bo‘ladi.
4.4.6-misol. Yechiluvchan G gruppaning H (H /= {e}) qism gruppasi uchun
H⁽¹⁾ /= H ekanligini isbotlang.


Yechish. Faraz qilaylik, H⁽¹⁾ = H bo‘lsin, u holda, H⁽²⁾ = [H⁽¹⁾, H⁽¹⁾] = [H, H] = H⁽¹⁾ = H /= {e} ekanligidan, induktiv tarzda H⁽ⁿ⁾ = H /= {e} bo‘lishini hosil qilamiz. Ikkinchi tomondan esa, G gruppa yechiluvchan bo‘lganligi uchun uning H qism gruppasi ham yechiluvchan bo‘ladi. Bu esa, qandaydir k uchun H^(k) = {e} bo‘lishini anglatadi. Natijada biz ziddiyatga ega bo‘lamiz, demak, H⁽¹⁾ /= H. Q
4.4.7-misol. GL_n(R), n ≥ 3 gruppaning yechiluvchan emasligini ko‘rsating.
Yechish. Aytaylik, G = GL_n(R) bo‘lsin. E_ij orqali a_i,j = 1 va qolgan ele- mentlari nolga teng bo‘lgan n-tartibli matritsani belgilaymiz. U holda
_{E E =} ⁽ E_is, agar j = r,

ij rs
0, agar j r.

Bundan tashqari, I birlik matritsa uchun i /= j da I + E_ij ∈ G bo‘lib, (I +

E_ij)⁻¹ = I − E_ij bo‘ladi. Aytaylik, T = ⟨I + E_ij | i /= j⟩ bo‘lsin, ya’ni T orqali
{I + E_ij | i /= j} elementlardan hosil bo‘lgan qism gruppani belgilaylik. U holda
n ≥ 3 bo‘lganligi uchun shunday k, 1 ≤ i k /= j ≤ n soni topilib,
(I + E_ik)(I + E_kj)(I + E_ik)⁻¹(I + E_kj)⁻¹ = (I + E_ik)(I + E_kj)(I − E_ik)(I − E_kj)

= (I + E_kj + E_ik + E_ij)(I + E_kj + E_ik + E_ij) = (I + E_ij)
bo‘ladi. Bu esa (I + E_ij) ∈ T ⁽¹⁾ ekanligini anglatadi, ya’ni T = T ⁽¹⁾. Demak, T yechiluvchan emas, bundan esa, G gruppaning ham yechiluvchan emasligi kelib chiqadi. Q