O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

4.4.8-misol. D₄ gruppa uchun markaziy qator toping.
Yechish. Ma’lumki, D₄ = ⟨a, b⟩ bo‘lib, ord(a) = 4, ord(b) = 2 va ba = a³b.
Ushbu gruppa uchun quyidagi qatorni qaraymiz
{e} ⊆ {e, a²} ⊆ {e, a, a², a³} ⊆ D₄,
ya’ni G₀ = {e}, G₁ = {e, a²}, G₂ = {e, a, a², a³} va G₃ = D₄. Ma’lumki, ushbu qator normal qator bo‘lib, |D₄/G₁| = 4 va |D₄/G₂| = 2 ekanligidan D₄/G₁ va D₄/G₂ gruppalarning kommutativ ekanligi kelib chiqadi. Demak, G₂/G₁ ⊆ D₄/G₁ = Z(D₄/G₁) va D₄/G₂ ⊆ Z(D₄/G₂) = D₄/G₂. Bundan tashqari, Z(D₄) = {e, a²} = G₁ ekanligidan G₁/G₀ ⊆ Z(D₄/G₀) munosabatni hosil qilamiz. Demak, keltirilgan G₀ ⊆ G₁ ⊆ G₂ ⊆ G₂ qator markaziy qator bo‘ladi. Q

3. Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

1. 
   
   Z₂₀ gruppa uchun mumkin bo‘lgan barcha normal qatorlarni tuzing.
   

2. 
   
   Quyidagi gruppalar uchun mumkin bo‘lgan barcha normal qatorlarni tuzing:
   

K₄, S₃, D₄, Q₈, Z₃ × Z₃, Z₁₅, A₄, S₄.

3. 
   
   Quyidagi gruppalar uchun mumkin bo‘lgan barcha subnormal qatorlarni tuz- ing:
   

S₃, D₄, Q₈, A₄, S₄.

4. 
   
   Tartibi quyidagi sonlarga teng bo‘lgan gruppalarning yechiluvchan ekanligini isbotlang:
   

12, 15, 20, 21, 28, 35, 36, 42, 45, 100.

5. 
   
   Tartibi quyidagi sonlarga teng bo‘lgan gruppalarning nilpotent ekanligini is- botlang:
   

16, 27, 33, 35, 45, 51, 65.

6. 
   
   D₅ gruppaning nilpotent emasligini ko‘rsating.
   
7. 
   
   D_n gruppaning yechiluvchan ekanligini isbotlang.
   
8. 
   
   D_n gruppa nilpotent bo‘lishi uchun n = 2^m bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.
   
9. 
   
   Agar G gruppaning N normal qism gruppasi uchun N ∩ G⁽¹⁾ = {e} bo‘lsa, u holda N ⊆ Z(G) va Z(G/N ) = Z(G)/N ekanligini isbotlang.
   
10. 
    
    Tartibi pq (p, q – tub sonlar) bo‘lgan ixtiyoriy gruppa yechiluvchan ekanligini isbotlang.
    
11. 
    
    Tartibi p²q (p, q – tub sonlar) bo‘lgan ixtiyoriy gruppa yechiluvchan ekanligini isbotlang.
    
12. 
    
    Tartibi pqr (p, q, r – tub sonlar) bo‘lgan ixtiyoriy gruppa yechiluvchan ekan- ligini isbotlang.
    
13. 
    
    Tartibi p²q² (p, q – tub sonlar) bo‘lgan ixtiyoriy gruppa yechiluvchan ekan- ligini isbotlang.
    
14. 
    
    Quyidagi gruppalarning hosilaviy qatorlarini aniqlang:
    

D₄, Q₈, A₄, S₄, S₃ × Z₂, S₃ × Z₃, S₃ × S₃.

15. 
    
    Quyidagi gruppalarning quyi markaziy qatorlarini aniqlang:
    

D₄, Q₈, A₄, S₄, S₃ × Z₂, S₃ × Z₃, S₃ × S₃.

16. 
    
    Isbotlang: [S_n, S_n] = A_n.
    
17. 
    
    Isbotlang: [A_n, A_n] = A_n, n ≥ 5.
    
18. 
    
    Quyidagilarni aniqlang:
    
    • 
      
      [SL₂(Z₂), SL₂(Z₂)].
      
    • 
      
      [GL₂(Z₂), GL₂(Z₂)].
      
    • 
      
      [SL₂(Z₃), SL₂(Z₃)].
      
    • 
      
      [GL₂(Z₃), GL₂(Z₃)].
      
19. 
    
    Isbotlang: [GL_n(R), GL_n(R)] = SL_n(R).
    
20. 
    
    Isbotlang: [SL_n(R), SL_n(R)] = SL_n(R).
    
21. 
    
    Yuqori uchburchak ko‘rinishidagi teskarilanuvchi matritsalar gruppasi (ko‘paytirish amaliga nisbatan) yechiluvchan ekanligini isbotlang.
    
22. 
    
    Yechiluvchan gruppalarning to‘g‘ri ko‘paytmasi yechiluvchan bo‘lishini isbot- lang.
    
23. 
    
    S₃ × Z gruppa cheksiz yechiluvchan gruppa ekanligini isbotlang.
    
24. 
    
    G gruppa yechiluvchan bo‘lishi uchun G/Z(G) faktor gruppaning yechi- luvchan bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.
    
25. 
    
    G gruppaning A qism gruppasi va B normal qism gruppasi berilgan bo‘lsin. Agar A va B qism gruppalar yechiluvchan bo‘lsa, u holda AB ham yechi- luvchan ekanligini isbotlang.
    
26. 
    
    Nilpotent gruppaning gomomorf obrazi ham nilpotent bo‘lishini isbotlang.
    
27. 
    
    O‘zi nilpotent bo‘lmagan, lekin qandaydir normal qism gruppasi bo‘yicha faktor gruppasi nilpotent bo‘lgan gruppaga misol keltiring.
    

BOB 5