O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

4.4.1-teorema. Agar G gruppa yechiluvchan bo‘lsa, u holda uning ixtiyoriy qism gruppasi ham, gomomorf obrazi ham yechiluvchan bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, bizga
G = H₀ ⊇ H₁ ⊇ H₂ ⊇ · · · ⊇ H_n−1 ⊇ H_n = {e}
yechiluvchan qator berilgan bo‘lib, K esa G gruppaning qism gruppasi bo‘lsin. Quyidagi K_i = K ∩ H_i qism gruppalar uchun
K = K₀ ⊇ K₁ ⊇ K₂ ⊇ · · · ⊇ K_n−1 ⊇ K_n = {e}
qatorni yechiluvchan qator bo‘lishini ko‘rsatamiz. H_i+1 a H_i bo‘lganligi uchun
K_i+1 a K_i ekanligi osongina kelib chiqadi. Bundan tashqari K_i+1 = K_i ∩ H_i+1 va

K_i/K_i+1 = K_i/(K_i ∩ H_i+1) ekanligidan izomorfizm haqidagi ikkinchi teoremaga ko‘ra

^Ki^/Ki+1 ^{∼= (K}i^Hi+1^)/Hi+1
bo‘lishi kelib chiqadi. H_i/H_i+1 faktor gruppaning kommutativligi va (K_iH_i+1)/H_i+1 ≤ H_i/H_i+1 ekanligidan K_i/K_i+1 gruppaning ham kommutativligi kelib chiqadi. Bundan esa, K qism gruppaning yechiluvchan ekanligi kelib chiqadi. Endi G gruppaning gomomorf obrazi yechiluvchan bo‘lishini ko‘rsatamiz. Ay- taylik, f : G → G^′ epimorfizm berilgan bo‘lsin. H_i^′ = f (H_i) to‘plamlarni qarasak,
f epimorfizm bo‘lganligi uchun f (H_i+1) a f (H_i) bo‘ladi. Demak,

G^′ = H₀^′
⊇ H₁^′
⊇ H₂^′
⊇ · · · ⊇ H_n^′ ₋₁ ⊇ H_n^′
= {e} (4.8)

qator subnormal qator bo‘ladi. Biz endi H_i^′/H_i^′₊₁ faktorlarning kommutativ ekan- ligini ko‘rsatamiz. Buning uchun g(h_i) = f (h_i)H_i^′₊₁ kabi aniqlangan g : H_i → H_i^′/H_i^′₊₁ akslantirishni qaraymiz. Ushbu g akslantirish epimorfizm bo‘lib, ixti- yoriy h_i+1 ∈ H_i+1 uchun

g(h_i+1) = f (h_i+1)H_i^′₊₁ = f (h_i+1)f (H_i+1) = f (H_i+1) = H_i^′₊₁
bo‘ladi. Bundan esa H_i+1 ⊆ Kerg ekanligi kelib chiqadi. Demak, g epimor- fizm orqali H_i/H_i+1 gruppadan H_i^′/H_i^′₊₁ gruppaga epimorfizm aniqlash mumkin. Bundan esa, H_i^′/H_i^′₊₁ faktorlarning kommutativ ekanligi, ya’ni G^′ gruppaning yechiluvchanligi kelib chiqadi.
4.4.1-teoremadan quyidagi natijani hosil qilamiz.
4.4.1-natija. Agar G yechiluvchan gruppa bo‘lib, H uning normal qism gruppasi bo‘lsa, u holda H va G/H gruppalar ham yechiluvchan bo‘ladi.
Quyidagi teoremada esa, yuqoridagi natijaning teskarisi ham o‘rinli ekanligini ko‘rsatamiz.
4.4.2-teorema. Agar G gruppaning H normal qism gruppasi berilgan bo‘lib, H va
G/H gruppalar yechiluvchan bo‘lsa, u holda G gruppa ham yechiluvchan bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, G/H yechiluvchan gruppa uchun
G/H = K₀ ⊇ K₁ ⊇ K₂ ⊇ · · · ⊇ K_m−1 ⊇ K_m = {eH} = {H}
yechiluvchan qator berilgan bo‘lsin. U holda, G gruppaning K_i = K_i/H va K_i+1 a K_i shartlarni qanoatlantiruvchi K_i, 0 ≤ i ≤ m qism gruppalari ^{mavjud. Izomorfizm haqidagi uchinchi teoremaga ko‘ra Ki/Ki+1 ∼}= ^Ki/Ki+1

bo‘lib, K_i/K_i+1 gruppalarning ham kommutativ ekanligi kelib chiqadi.
Ikkinchi tomondan esa, H yechiluvchan bo‘lganligi uchun
H = H₀ ⊇ H₁ ⊇ H₂ ⊇ · · · ⊇ H_n−1 ⊇ H_n = {e}

yechiluvchan qator mavjud. U holda

G = K₀ ⊇ K₁ ⊇ K₂ ⊇ · · · ⊇ K_m−1 ⊇ H ⊇ H₁ ⊇ H₂ ⊇ · · · ⊇ H_n−1 ⊇ H_n = {e}

qator ham yechiluvchan bo‘ladi. Demak, G gruppa ham yechiluvchan.
Endi gruppaning yechiluvchan bo‘lishini uning kommutanti orqali ifodalovchi natijani keltiramiz. Ma’lumki, G gruppaning kommutanti
[G, G] = ⟨[a, b] = aba⁻¹b⁻¹ | a, b ∈ G⟩
to‘plamdan iborat bo‘lib, u normal qism gruppa bo‘ladi (1.6.3-tasdiqqa qarang). Bundan tashqari, G/[G, G] faktor gruppa kommutativ bo‘ladi.


4.4.3-teorema. Bizga G gruppa va uning H qism gruppasi berilgan bo‘lsin. [G, G] ⊆ H bo‘lishi uchun H a G va G/H faktor gruppaning kommutativ bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Aytaylik, [G, G] ⊆ H bo‘lsin, u holda ixtiyoriy h ∈ H va a ∈ G uchun aha⁻¹h⁻¹ ∈ [G, G] ⊆ H bo‘lib, aha⁻¹ = (aha⁻¹h⁻¹)h ∈ H ekanligi kelib chiqadi. Demak, H normal qism gruppa bo‘ladi. Endi G/H gruppaning kommutativligini ko‘rsatamiz. Buning uchun ixtiyoriy aH, bH ∈ G/H elementlarni olsak,
(aH)(bH)(aH)⁻¹(bH)⁻¹ = aHbHa⁻¹Hb⁻¹H = aba⁻¹b⁻¹H
bo‘ladi. aba⁻¹b⁻¹ ∈ [G, G] ⊆ H ekanligidan (aH)(bH)(aH)⁻¹(bH)⁻¹ = H
bo‘lishi, ya’ni aHbH = bHaH ekanligi kelib chiqadi.
Va aksincha, agar H a G bo‘lib, G/H kommutativ bo‘lsa, u holda a, b ∈ G elementlar uchun (aH)(bH) = (bH)(aH) tenglikdan aba⁻¹b⁻¹ ∈ H munosabat kelib chiqadi. Bu esa, [G, G] ⊆ H ekanligini anglatadi.
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz

G⁽¹⁾ = [G, G], G^(k+1) = [G^(k), G^(k)], k ≥ 1.

U holda biz kommutantlardan iborat quyidagi qatorga ega bo‘lamiz

G ⊇ G⁽¹⁾ ⊇ G⁽²⁾ ⊇ G⁽³⁾ ⊇ . . . .

Ushbu qator G gruppaning hosilaviy qatori deb ataladi. Quyidagi teore- mada berilgan gruppaning yechiluvchan bo‘lishini hosilaviy qator orqali beriluvchi zaruriy va yetarlilik kriteriyasini keltiramiz.