O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

4.4.4-teorema. G gruppa yechiluvchan bo‘lishi uchun shunday m ∈ N soni topi- lib, G^(m) = {e} bo‘lishi zarur va yetarli.


Isbot. Aytaylik, G^(m) = {e} bo‘lsin, u holda
G ⊇ G⁽¹⁾ ⊇ G⁽²⁾ ⊇ · · · ⊇ G^(m−1) ⊇ G^(m) = {e}
qator yechiluvchan qator bo‘lib, G gruppaning yechiluvchanligini hosil qilamiz.
Endi G gruppa yechiluvchan bo‘lsa G^(m) = {e} shartni qanoatlantiradigan m
soni mavjud ekanligini ko‘rsatamiz. G gruppa yechiluvchan bo‘lganligi uchun
G = H₀ ⊇ H₁ ⊇ H₂ ⊇ · · · ⊇ H_n−1 ⊇ H_n = {e}
yechiluvchan qator mavjud. H_i+1 a H_i va H_i/H_i+1 faktorning kommutativ ekan- ligidan 4.4.3-teoremaga ko‘ra [H_i, H_i] ⊆ H_i+1 ekanligi kelib chiqadi. Bundan esa,
H₁ ⊇ [H₀, H₀] = G⁽¹⁾, H₂ ⊇ [H₁, H₁] = G⁽²⁾, . . . , {e} = H_n ⊇ [H_n−1, H_n−1] = G⁽ⁿ⁾
ekanligini hosil qilamiz. Demak, G⁽ⁿ⁾ = {e}.
Endi S_n o‘rin almashtirishlar gruppasining n ≥ 5 bo‘lganda yechiluvchan emasligini ko‘rsatamiz.
4.4.5-teorema. S_n(n ≥ 5) o‘rin almashtirishlar gruppasi yechiluvchan emas.
Isbot. Aytaylik, S_n gruppaning H qism gruppasi berilgan bo‘lib, u uzunligi 3 ga teng bo‘lgan barcha sikllarni o‘z ichiga olsin. Ixtiyoriy π = (a b c) ∈ H sikl uchun a, b, c sonlaridan farqli d, f sonlarni olib (n ≥ 5 bo‘lgani uchun bunday sonlar mavjud), α = (a b d) va β = (a c f ) sikllarni qaraymiz. U holda π, α, β ∈ H bo‘lib,
(a b c) = (a b d) ◦ (a c f ) ◦ (a d b) ◦ (a f c) = αβα⁻¹β⁻¹ ∈ [H, H]

bo‘ladi. Bu esa, uzunligi 3 ga teng bo‘lgan ixtiyoriy π = (a b c) siklning [H, H]

n
kommutantda yotishini bildiradi. Bundan esa, S⁽¹⁾
= [S_n
, S_n
] ham uzunligi 3 ga

n
teng bo‘lgan barcha sikllarni o‘z ichiga olishi kelib chiqadi. Induktiv ravishda, ixtiyoriy k ≥ 1 uchun S^(k) qism gruppa uzunligi 3 ga teng bo‘lgan barcha sikllarni

n
o‘z ichiga olishiga ega bo‘lamiz. Demak, S^(m) = {e} tenglik o‘rinli bo‘ladigan m
soni mavjud emas. Ya’ni S_n (n ≥ 5) gruppa yechiluvchan emas.

Nilpotent gruppalar

Endi nilpotent gruppalar ta’rifini kiritib ularning xossalarini keltiramiz.