O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

4.3.1-lemma. Tartibi 60 ga teng bo‘lgan sodda gruppaning tartibi 12 ga teng bo‘lgan qism gruppasi mavjud.
Isbot. Aytaylik, gruppaning Silov 5-qism gruppalari soni n₅, Silov 2-qism gruppalari soni esa n₂ bo‘lsin. U holda n₅ = 5m + 1, n₅ | 60 va n₂ = 2k + 1, n₂ | 60 bo‘ladi. Bundan esa, n₅ = 1 yoki 6 ekanligini hosil qilamiz. Berilgan gruppa sodda bo‘lganligi uchun n₅ = 6, ya’ni grupaning 6 ta Silov 5-qism gruppasi mavjud. Ushbu Silov 5-qism gruppalarni A₁, A₂, . . . , A₆ kabi belgilasak, |A_i| = 5 bo‘lib, A_i ∩ A_j = {e}, i /= j bo‘ladi. Bundan tashqari, a ∈ A_i, a /= e element uchun ord(a) = 5 ekanligidan gruppada tartibi 5 ga teng bo‘lgan 24 ta element mavjud ekanligini hosil qilamiz.
Ikkinchi tomondan esa, n₂ = 2k + 1, n₂ | 60 munosabatdan va gruppaning sod- daligidan n₂ = 3, 5, 15 bo‘lishi kelib chiqadi. Faraz qilaylik n₂ = 15, ya’ni Silov 2-qism gruppalari 15 ta bo‘lsin. Ushbu Silov 2-qism gruppalarni B₁, B₂, . . . , B₁₅ kabi belgilasak, |B_i ∩ B_j| ≤ 2 bo‘ladi. Agar barcha i /= j uchun B_i ∩ B_j = {e}

S
bo‘lsa, u holda B_i to‘plam 46 ta elementni o‘z ichiga olib, uning barcha ele-

i
mentlari tartibi 5 dan farqli bo‘ladi. Biz yuqorida gruppaning tartibi 5 ga teng
bo‘lgan 24 ta elementi mavjud ekanligini ko‘rsatgan edik, bu esa gruppa element-
lari son 60 ta ekanligiga zid. Demak, B_i ∩ B_j {e} bo‘ladigan Silov 2-qism
gruppalari mavjud. U holda |B_i ∩ B_j| = 2 bo‘lib, B_i ∩ B_j to‘plam B_i va B_j gruppalarning normal qism gruppasi bo‘ladi. Bundan esa, B_i, B_j ⊆ N (B_i ∩ B_j), ya’ni B_iB_j ⊆ N (B_i ∩ B_j) kelib chiqadi. N (B_i ∩ B_j) to‘plam G gruppaning qism gruppasi ekanligi va |N (B_i ∩ B_j)| ≥ |B_iB_j| = 8 munosabatdan foydalansak,
|N (B_i ∩ B_j)| = 12, 20, 30, yoki 60 bo‘lishini hosil qilamiz.

• 
  
  Agar |N (B_i ∩ B_j)| = 60 bo‘lsa, u holda B_i ∩ B_j qism gruppa G da normal bo‘ladi, bu esa G ning sodda ekanligiga zid.
  
• 
  
  Agar |N (B_i ∩ B_j)| = 30 bo‘lsa, u holda N (B_i ∩ B_j) qism gruppa G da normal bo‘ladi, bu ham G ning sodda ekanligiga zid.
  
• 
  
  Agar |N (B_i ∩ B_j)| = 20 bo‘lsa, u holda [G : N (B_i ∩ B_j)] = 3 bo‘lib, 3! soni 60 ga bo‘linmaganligi uchun 4.1.1-natijaga ko‘ra G gruppaning normal qism gruppasi mavjud.
  

Demak, |N (B_i ∩ B_j)| = 12, ya’ni G gruppaning tartibi 12 ga teng bo‘lgan qism gruppasi mavjud.
Agar n₂ = 3 bo‘lsa, u holda ixtiyoriy B_i Silov 2-qism gruppa uchun n₂ = 3 = [G : N (B_i)] bo‘lib, |N (B_i)| = 20 ekanligini hosil qilamiz. Bu holda ham yuqoridagi kabi, 4.1.1-natijaga ko‘ra G gruppaning normal qism gruppasi mavjud ekanligi kelib chiqadi.
Agar n₂ = 5 bo‘lsa, u holda n₂ = 5 = [G : N (B_i)] bo‘lib, |N (B_i)| = 12, ya’ni
G gruppaning tartibi 12 ga teng bo‘lgan qism gruppasi mavjud bo‘ladi.