O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

4.3.3-teorema. Tartibi 2p ga teng bo‘lgan ixtiyoriy G gruppa Z_2p yoki D_p diedr gruppalaridan biriga izomorf.

∈

∈

⟨ ⟩
Isbot. Koshi teoremasiga ko‘ra tartibi 2p ga teng bo‘lgan ixtiyoriy gruppaning tartibi p va 2 ga teng bo‘lgan elementlari mavjud. Aytaylik, ord(a) = p va ord(b) = 2 bo‘lsin. Agar H = a qism gruppani qarasak, [G : H] = 2 bo‘lganligi uchun H normal qism gruppa bo‘ladi. U holda bab = bab⁻¹ H bo‘lib, qandaydir aⁱ H uchun bab = aⁱ. Bundan esa, a = baⁱb tenglik kelib chiqadi. Ikkinchi tomondan esa aⁱ2 = (aⁱ)ⁱ = (bab)ⁱ = (bab⁻¹)ⁱ = baⁱb. Demak, a = aⁱ2 bo‘lib, aⁱ2⁻¹ = e kelib chiqadi. ord(a) = p bo‘lganligi uchun p | (i² − 1), ya‘ni p | (i − 1) yoki p | (i + 1). Agar p | (i − 1) bo‘lsa, u holda i = 1 bo‘lib, ba = ab tenglikka ega bo‘lamiz. Bundan esa ord(ab) = 2p ekanligini, ya’ni G gruppada tartibi 2p ga
^{teng bo‘lgan element mavjudligini hosil qilamiz. Demak, G ∼}= ^Z2p.

| −
Agar p (i + 1) bo‘lsa, u holda i = 1 bo‘lib, bab = a⁻¹ ekanligi kelib chiqadi. Bu esa, G gruppa ord(a) = p, ord(b) = 2 va ba = a⁻¹b shartni qanoatlanturuvchi ^{a, b elementlardan hosil bo‘lishini anglatadi. Demak, G ∼}= ^Dp.

Quyidagi teoremada tartibi pq ga teng bo‘lgan gruppalarning tasnifini kelti- ramiz.
4.3.4-teorema. Tartibi pq (p va q tub sonlar va p < q) ga teng bo‘lgan ixtiy- oriy G gruppa yoki siklik gruppaga yoki a^p = e, b^q = e va a⁻¹ba = b^r shartni qanoatlantiruvchi a, b elementlardan hosil bo‘livchi gruppaga izomorf, bu yerda q soni r − 1 ning bo‘luvchisi emas, lekin q | (r^p − 1). Ikkinchi holat faqat p | (q − 1) bo‘lgandagina o‘rinli bo‘ladi.
Isbot. Koshi teoremasiga ko‘ra G gruppaning tartibi p va q ga teng bo‘lgan a, b elementlari mavjud, ya’ni ord(a) = p va ord(b) = q. Ushbu elementlardan hosil qilingan siklik gruppalarni mos ravishda A = ⟨a⟩ va B = ⟨b⟩ kabi belgilasak, ular G gruppaning Silov qism gruppalari bo‘ladi. Silov q-qism gruppalarining soni
1 + mq bo‘lib, (1 + mq) | pq. Bundan esa (1 + mq) | p kelib chiqib, p < q bo‘lganligi uchun m = 0 ekanligini hosil qilamiz. Demak, B qism gruppa G gruppaning normal qism gruppasi bo‘ladi. Ikkinchi tomondan Silov p-qism gruppalarning soni 1 + kp bo‘lib, (1 + kp) | pq, ya’ni (1 + kp) | q kelib chiqib, bundan esa k = 0 yoki p | (q − 1) ekanligini hosil qilamiz.

Agar k = 0 bo‘lsa, u holda A ham G gruppaning normal qism gruppasi bo‘lib,
^{G = A × B ekanligini, ya‘ni G ∼}= ^{Zp × Zq ∼}= ^{Zpq bo‘lishini hosil qilamiz.}
Agar k 0, ya’ni p | (q − 1) bo‘lsa, u holda A qism gruppa normal emas. Bu
esa G gruppaning kommutativ emasligini bildiradi. Lekin B qism gruppa nor- mal bo‘lganligi uchun a⁻¹ba ∈ B, ya’ni a⁻¹ba = b^r. Bu yerdan r − 1 soni q ga bo‘linmasligini hosil qilamiz, aks holda ba = ab bo‘lib, G gruppaning kommuta- tivligi kelib chiqadi. Bundan tashqari, induktiv ravishda a^−jba^j = b^rj tenglikni hosil qilish mumkin. Masalan, j = 2 bo‘lgan holda ushbu tenglikning to‘g‘ri ekanligi qiyudagicha ko‘rsatiladi

b .
a⁻²ba² = a⁻¹(a⁻¹ba)a = a⁻¹b^ra = (a⁻¹ba)(a⁻¹ba) . . . (a⁻¹ba) = ^r2

Demak, a^−jba^j = b^rj tenglik o‘rinli. Xususan, j = p bo‘lganda b = b^rp tenglikni, ya’ni q | (r^p − 1) munosabatni hosil qilamiz.