O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

4.3.2-teorema. Tartibi pq ga teng bo‘lgan ixtiyoriy gruppa sodda emas, bu yerda
p va q – tub sonlar.
Isbot. Aytaylik, G gruppaning tartibi pq ga teng bo‘lib, p > q bo‘lsin. Grup- paning barcha Silov p-qism gruppalari sonini n orqali belgilasak, Silovning uchin- chi teoremasiga ko‘ra n = pk + 1 va n | pq. Bundan esa, n = 1 ekanligini, ya’ni G gruppaning yagona Silov p-qism gruppasi mavjudligini hosil qilamiz. Ushbu Silov p-qism gruppasining tartibi p ga teng bo‘lib, u normal qism gruppa bo‘ladi. Demak, G sodda emas.
4.3.2-misol. Tartibi 15 ga teng bo‘lgan ixtiyoriy gruppa Z₁₅ ga izomorf ekanligini ko‘rsating.
Yechish. Silovning birinchi teoremasiga ko‘ra tartibi 15 ga teng bo‘lgan G gruppaning Silov 5-qism gruppasi va Silov 3-qism gruppalari mavjud. Bundan tashqari, bunday qism gruppalarning yagona ekanligini aniqlash ham qiyin emas. Chunki, Silov 5-qism gruppaning yagonaligi yuqoridagi teorema (4.3.2-teorema) isbotidagi kabi kelib chiqsa, Silov 3-qism gruppalarning soni ham 3k + 1 bo‘lib, 15 ning bo‘luvchisi bo‘lishi kerak. Bu esa, faqat k = 0 da o‘rinli.
Ushbu qism gruppalarni A va B orqali belgilasak, ular G gruppaning normal ^{qism gruppalari bo‘lib, A ∩ B = {e} bo‘ladi. Bundan esa, G = A × B ∼}= ^{Z5 × Z3}
ekanligi kelib chiqadi. 3 va 5 sonlari o‘zaro tubligidan 2.4.2-tasdiqqa ko‘ra Z₅ ×Z₃

^{gruppaning siklik ekanligini hosil qilamiz. Demak, G ∼}= ^{Z15. Q}
Ta’kidlash joizki, tartibi pq ga teng bo‘lgan barcha gruppalar ham siklik bo‘lavermaydi. Masalan, tartibi 10 ga teng bo‘lgan gruppa uchun yuqoridagi misolning yechimini aynan qo‘llab bo‘lmaydi. Chunki, 10 = 2 · 5 bo‘lganligi uchun Silov 2-qism gruppalarining soni 2k + 1 va (2k + 1) | 10 ekanligidan, k = 0 yoki k = 2 bo‘lishi mumkinligi kelib chiqadi. Bu esa, tartibi 10 ga teng bo‘lgan gruppaning 5 ta Silov 2-qism gruppasi mavjud bo‘lishi mumkinligini anglatadi. Masalan, D₅ = ⟨a, b⟩ diedr gruppasi tartibi 10 ga teng bo‘lgan siklik bo‘lmagan gruppa bo‘lib, uning 5 ta Silov 2-qism gruppasi mavjud.
Quyidagi teoremada tartibi 2p ga teng bo‘lgan ixtiyoriy gruppaning siklik yoki
D_p diedr gruppasiga izomorf bo‘lishini ko‘rsatamiz.