O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

Isbot. Zaruriylik. Aytaylik, G erkin abel gruppasi bo‘lib, {a₁, a₂, . . . , a_k} uning bazisi bo‘lsin. Ixtiyoriy x ∈ T (G) element uchun ord(x) = r, ya’ni rx = 0 va x = n₁a₁ + n₂a₂ + · · · + n_ka_k. U holda
0 = rx = r(n₁a₁ + n₂a₂ + · · · + n_ka_k) = (rn₁)a₁ + (rn₂)a₂ + · · · + (rn_k)a_k
bo‘lib, bundan rn_i = 0, 1 ≤ i ≤ k kelib chiqadi. r > 0 ekanligidan n_i = 0 tenglikni olamiz. Bu esa x = 0 ekanligini, ya’ni T (G) = {0} bo‘lishini bildiradi.
Yetarlilik. Aytaylik, G = ⟨a₁, a₂, . . . , a_k⟩, ya’ni hosil qiluvchi elementlari soni chekli bo‘lgan abel gruppasi bo‘lib, T (G) = {0} bo‘lsin. U holda bunday gruppalarning erkin abel gruppasi bo‘lishini k ga nisbatan induksiya usuli orqali


^{ko‘rsatamiz. k = 1 bo‘lgan holda G = ⟨a1⟩ ∼}= ^{Z bo‘lib, u erkin abel gruppasi} bo‘ladi. Endi hosil qiluvchi elementlari soni k tadan kam bo‘lgan gruppalar uchun teorema sharti o‘rinli deb faraz qilib, k uchun to‘g‘ri bo‘lishini ko‘rsatamiz. Agar
{a₁, a₂, . . . , a_k} elementlar to‘plami chiziqli erkli bo‘lsa, u holda u bazis bo‘lib, G
^{erkin abel gruppasi bo‘ladi, ya’ni G ∼}= ^Fk.
Faraz qilaylik, {a₁, a₂, . . . , a_k} elementlar to‘plami chiziqli bog‘liq bo‘lsin, ya’ni hech bo‘lmaganda bittasi noldan farqli bo‘lgan n₁, n₂, . . . , n_k butun sonlari topilib,
n₁a₁ + n₂a₂ + · · · + n_ka_k = 0
bo‘lsin.
Ushbu sonlarning eng katta umumiy bo‘luvchisi d = EKUB(n₁, n₂, . . . , n_k)

d
uchun m_i = ⁿⁱ
deb olsak, u holda
d(m₁a₁ + m₂a₂ + · · · + m_ka_k) = 0.

T (G) = 0 va d /= 0 ekanligidan
m₁a₁ + m₂a₂ + · · · + m_ka_k = 0 (3.1)
tenglikni olamiz, bu yerda EKUB(m₁, m₂, . . . , m_k) = 1. Agar m₁ = ±1 bo‘lsa, u holda a₁ = ±(m₂a₂ +· · ·+m_ka_k) bo‘lib, G gruppa k −1 ta hosil qiluvchi elementga ega ekanligini bildiradi. U holda induksiya faraziga ko‘ra G = ⟨a₂, a₃, . . . , a_k⟩ gruppa erkin bo‘ladi. Agar m₁ /= 0 va m₂ = · · · = m_k = 0 bo‘lsa, u holda m₁a₁ = 0 bo‘lib, gruppa buralishga ega bo‘lmaganligi uchun a₁ = 0 bo‘ladi. Ushbu holda ham biz G = ⟨a₂, a₃, . . . , a_k⟩ ekanligini, ya’ni induksiya faraziga ko‘ra uning erkin gruppa bo‘lishini hosil qilamiz. Demak, kamida ikkita m_i, m_j noldan farqli sonlari mavjud. Umumiylikka ziyon yetkazmagan holda |m₁| ≥ |m₂| > 0 deb olish mumkin. U holda a₂ hosil qiluvchi element o‘rniga a^′₂ + ma₁ element olish hisobiga biz yangi {a₁, a₂^′ , . . . , a_k} hosil qiluvchilarga ega bo‘lamiz. Ushbu hosil qiluvchi elementlarga nisbatan (3.1) tenglik quyidagi shaklga keladi

(m₁ − mm₂)a₁ + m₂a^′₂

+ · · · + m_ka_k = 0.

Ushbu tenglikda m sonini |m₁ − mm₂| < m₂ tengsizlik o‘rinli bo‘ladigan qilib tanlash mumkin. Demak, a₁ elementning oldidagi koeffitsientni kamaytirish mumkin. Ushbu jarayonni davom ettirib, biz yuqoridagi qaragan holga, ya’ni m₁ = ±1 ga keltirishimiz mumkin. Demak, hosil qiluvchi elementlar chiziqli erkli bo‘ladi, ya’ni G gruppa erkin gruppa bo‘ladi.

Endi biz rangi k ga teng bo‘lgan F_k erkin gruppadan ixtiyoriy G abel gruppaga bo‘lgan gomomorfizmlar haqida to‘xtalib o‘tamiz. Bizga rangi k ga teng bo‘lgan F_k erkin gruppa berilgan bo‘lib, {a₁, a₂, . . . , a_k} uning bazisi bo‘lsin. Ushbu a₁, a₂, . . . , a_k elementlarni G gruppaning b₁, b₂, . . . , b_k elementlariga o‘tkazuvchi ϕ akslantirishni qaraymiz, ya’ni ϕ(a_i) ∈ G.