O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

1.1.4-misol.

• (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +) algebraik sistemalar kommutativ gruppa bo‘ladi.

  
  

• (Q \ {0}, ·), (R \ {0}, ·), (C \ {0}, ·) algebraik sistemalar kommutativ gruppa bo‘ladi.

  
  

• (M_n(R), +) – elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lgan n-tartibli kvadrat matritsalar to‘plami, matritsalarni qo‘shish amaliga nisbatan kommutativ gruppa tashkil qiladi.

  
  

• (GL_n(R), ·) – elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lib, determinanti noldan farqli bo‘lgan n-tartibli matritsalar to‘plami, matritsalarni ko‘paytirish ama- liga nisbatan nokommutativ gruppa tashkil qiladi.

  
  

• (SL_n(R), ·) – elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lib, determinanti 1 ga teng bo‘lgan n-tartibli matritsalar to‘plami, matritsalarni ko‘paytirish ama- liga nisbatan nokommutativ gruppa tashkil qiladi.

  
  

Qiyudagi misolda X to‘plamning barcha qism to‘plamlaridan tuzilgan P (X) oilani qarab, bu oila ikki to‘plamning birlashmasi, kesishmasi va simmetrik ayirmasi kabi amallarga nisbatan qanday algebraik sistema tashkil qilishini aniqlaymiz.

1.1.5-misol. Bo‘sh bo‘lmagan X to‘plamning barcha qism to‘plamlaridan tuzilgan
P (X) sistema uchun quyidagilar o‘rinli bo‘ladi:

• 
  
  P (X) to‘plam birlashma ∪ amaliga nisbatan monoid tashkil qiladi, lekin (P (X), ∪) gruppa emas. Haqiqatdan ham, birlashma amali binar amal bo‘lib, ushbu amal uchun assosiativlik xossasi o‘rinli bo‘ladi. Birlik element vazi- fasini e = ∅ bajarsa, bo‘sh to‘plamdan farqli bo‘lgan ixtiyoriy to‘plam teska- rilanuvchi emas. Shuning uchun (P (X), ∪) monoid bo‘lib, gruppa tashkil qilmaydi.
  
• 
  
  P (X) to‘plam kesishma ∩ amaliga nisbatan monoid tashkil qiladi, lekin (P (X), ∩) gruppa emas. Bu yerda ham aniqlangan amal binar amal bo‘lishi va assosiativlikning bajarilishi ravshan. Birlik element vazifasini e = X ba- jarsa, X dan farqli bo‘lgan ixtiyoriy to‘plam teskarilanuvchi emas.
  
• 
  

  ∈
  P (X) to‘plam simmetrik ayirma Δ amaliga nisbatan kommutativ gruppa tashkil qiladi. Chunki, simmetrik ayirmaga nisbatan birlik element e = ∅ bo‘lib, ixtiyoriy A P (X) elementning teskarisi o‘ziga teng bo‘ladi, ya’ni A⁻¹ = A.

  
  

Bizga sonlar nazariyasidan ma’lumki, ixtiyoriy n natural son uchun Z_n =

{0, 1, . . . , n − 1} chegirmalar sinfini hosil qilish mumkin, hamda bu chegirmalar sinfida qo‘shish va ko‘paytirish amallari aniqlanadi.