O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

5.4.8-misol. R = 2Z juft sonlardan iborat halqada I = 4Z to‘plam maksimal ideal bo‘lib, lekin birlamchi ideal emas, chunki, 2 ∈/ I va 2 · 2 = 4 ∈ I.
5.4.6-teorema. Bosh ideallar sohasining P xos ideali birlamchi bo‘lishi uchun uning maksimal bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Aytaylik, P birlamchi ideal bo‘lsin. U holda 5.4.5-teoremaga ko‘ra qandaydir p tub element uchun P = ⟨p⟩ bo‘ladi. Faraz qilaylik, qandaydir I ideal uchun P ⊂ I, P /= I bo‘lsin. U holda a ∈ I \ P element mavjud. Ushbu a va p elementlar o‘zaro tub bo‘lganligi uchun shunday s, t ∈ R elementlar mavjud bo‘lib, sa + tp = 1. Bundan esa, 1 = sa + tp ∈ I kelib chiqadi. Demak I = R, ya’ni P maksimal ideal.
Endi 5.4.4-teoremaning maksimal ideallar uchun analogini keltiramiz.
5.4.7-teorema. R birlik elementli kommutativ halqaning M ideali maksimal bo‘lishi uchun R/M faktor halqa maydon bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriylik. Aytaylik, M maksimal ideal bo‘lsin. R/M halqa ham kommutativ biri bor halqa bo‘lib, ixtiyoriy noldan farqli a + M ∈ R/M element
olsak, a ∈/ M bo‘ladi. Agar ⟨M, a⟩ idealni qarasak, M ⊂ ⟨M, a⟩ ⊂ R bo‘lib,

M maksimal bo‘lganligi uchun ⟨M, a⟩ = R bo‘ladi. Demak, 1 ∈ ⟨M, a⟩, ya’ni shunday m ∈ M va r ∈ R elementlar topiladiki, m + ra = 1 bo‘ladi. Bu esa
m + ra + M = 1 + M, ya’ni ra + M = 1 + M ekanligini bildiradi. Bundan esa (a + M )(r +M ) = 1 +M ekanligini, ya’ni a +M elementning teskarilanuvchiligini hosil qilamiz. Demak, R/M halqa kommutativ biri bor halqa bo‘lib, uning ixtiyoriy elementi teskarilanuvchi bo‘ladi, ya’ni R/M maydon.
Yetarlilik. Aytaylik, R/M maydon bo‘lsin. U holda M /= R. Agar I ideal uchun M ⊂ I bo‘lsa, u holda a ∈ I \ M element uchun a + M element R/M
maydonning noldan farqli elementi bo‘ladi. Maydonning ixtiyoriy noldan farqli elementi teskarilanuvchi bo‘lganligi uchun shunday r ∈ R \ M element mavjudki, (a + M ) · (r + M ) = 1 + M, ya’ni 1 − ar ∈ M. Bundan esa, 1 = m + ar ∈ I ekanligini, ya’ni I = R tenglikni hosil qilamiz. Demak, M maksimal ideal.
Endi yana bir muhim ideal bo‘lgan primar ideal tushunchasini kiritamiz. Pri- mar ideal tushunchasining kiritilishini butun sonlar halqasidagi ⟨p^k⟩ ko‘rinishidagi halqalar bilan bog‘lash mumkin. Ma’lumki, arifmetikaning asosiy teoremasiga

ko‘ra ixtiyoriy n butun sonni n = p^α1 p^α2 . . . p^αs

ko‘rinishida ifodalash mumkin.

1 2 s

Bu yerdagi p_i tub sonlar orqali hosil qilingan ⟨p_i⟩ ideallar Z halqaning birlamchi

i
ideallari bo‘lsa, ⟨p^αi ⟩ ideallar esa primar ideallar bo‘ladi.