5.4.10-misol. Ixtiyoriy ideali birlamchi ideal bo‘ladigan butunlik sohasi maydon bo‘lishini isbotlang. Yechish.Aytaylik, R butunlik sohasi bo‘lsin. U holda ixtiyoriy noldan farqli a ∈ R element uchun a2R idealni qaraymiz. Ushbu ideal birlamchi ideal bo‘lganligi uchun a2 ∈ a2R munosabatdan a ∈ a2R kelib chiqadi. Demak, qandaydir, b ∈ R element topilib, a = a2b. Bundan esa, a(1 − ab) = 0 tenglikni hamda a /= 0 bo‘lganligi uchun ab = 1 bo‘lishini hosil qilamiz. Demak, R butunlik sohasining ixtiyoriy noldan farqli aelementi teskarilanuvchi ekan, ya’ni R maydon.
Q
5.4.11-misol.⟨x⟩ ideal Z[x] halqaning birlamchi ideali bo‘lib, maksimal bo‘lmasligini ko‘rsating.
Yechish. Aytaylik, Z[x] halqaning
f (x) = a0 + a1x + · · · + anxn, g(x) = b0 + b1x + · · · + bmxm elementlari uchun f (x)g(x) ∈ ⟨x⟩ bo‘lsin. U holda a0b0 = 0 bo‘lib, a0 = 0 yoki b0 = 0 bo‘ladi. Bundan esa, f (x) ∈ ⟨x⟩ yoki g(x) ∈ ⟨x⟩ kelib chiqadi. Demak, ⟨x⟩ birlamchi ideal.
Endi ushbu idealning maksimal emasligini ko‘rsatamiz. Agar ⟨x, 2⟩ idealni qarasak, ushbu ideal uchun ⟨x⟩ ⊂ ⟨x, 2⟩ ⊂ Z[x] munosabat o‘rinli bo‘lib, bundan
⟨x⟩ idealning maksimal emasligi kelib chiqadi. Q
5.4.12-misol. ⟨x2⟩ ideal Z[x] halqaning primar ideali ekanligini ko‘rsating.