O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

5.5.1-tasdiq. Agar n va m sonlari o‘zaro tub bo‘lsa, u holda Z_n ⊕ Z_m va Z_nm
halqalar izomorf.

Isbot. Tasdiqni isbotlash uchun Z_n ⊕ Z_m halqadan Z_nm halqaga izomorfizm quramiz. Ma’lumki, f izomorfizm nol elementni nol elementga birlik elementni birlik elementga o‘tkazadi. Shuning uchun
f (0, 0) = 0, f (1, 1) = 1.
Endi Z_n ⊕ Z_m halqaning a = (1, 1) elementini olib,

` ˛¸ x
(0, 0), a, a + a, a + a + a, . . . , a + a + · · · + a

n+m−1 ta
elementlarni qarab chiqsak, n va m sonlari o‘zaro tub bo‘lganligi uchun ushbu ele- mentlar turli bo‘lib, ular Z_n⊕Z_m halqaning barcha elementlarini beradi. Agar Z_nm

k ta

halqaning k elementini a_` + a +_˛¸· · · + a_x elementga mos qo‘yuvchi akslantirishni
qarasak, ushbu akslantirish Z_nm halqani Z_n ⊕ Z_m halqaga o‘tkazuvchi o‘zaro bir
qiymatli akslantirish bo‘lib, qo‘shish va ko‘paytirish amallarini saqlaydi. Demak, ^{ushbu akslantirish izomorfizm bo‘ladi. Ya’ni Zn ⊕ Zm ∼}= ^Znm.
Yuqoridagi tasdiqdan ko‘rinadiki, Z_nm halqaning k elementini Z_n ⊕ Z_m halqa-
ning (k(mod n), k(mod m)) elementiga o‘tkazuvchi f : Z_nm → Z_n⊕Z_m akslantirish izomorfizm bo‘ladi. Ushbu tasdiqni umumlashtirgan holda quyidagi natijaga ega bo‘lamiz.
5.5.1-natija. Agar juft-jufti bilan o‘zaro tub bo‘lgan n₁, n₂, . . . , n_s butun sonlar berilgan bo‘lsa, u holda Z_n1 ⊕Z_n2 ⊕· · ·⊕Z_ns halqa Z_n1n2...ns halqaga izomorf bo‘ladi.
Bizga A va B halqalar va ularning R = A⊕ B to‘g‘ri yig‘indisi berilgan bo‘lsin.
U holda
I₁ = {(a, 0) | a ∈ A} va I₂ = {(0, b) | b ∈ B}
to‘plamlar A × B halqaning ideallari bo‘lib, I₁ ∩ I₂ = {(0, 0)} bo‘ladi. Bundan tashqari, R = A ⊕ B halqaning ixtiyoriy x ∈ R elementini yagona ravishda
x = y + z, y ∈ I₁, z ∈ I₂
kabi ifodalash mumkin.