5.5.2-tasdiq. Agar R halqaning I1 va I2 ideallari berilgan bo‘lib, I1 ∩ I2 = {0} va ixtiyoriy x ∈ R elementni x = y + z, y ∈ I1, z ∈ I2 kabi ifodalash mumkin bo‘lsa, u holda R ∼= I1 ⊕ I2 bo‘ladi.
Isbot. Agar I1 ∩ I2 = {0} ekanligidan foydalansak, ixtiyoriy x ∈ R elementni x = y + z, y ∈ I1, z ∈ I2 kabi yagona ravishda ifodalash mumkinligi kelib chiqadi. Chunki, agar x = y1 + z1 = y2 + z2 bo‘lsa, u holda y1 − y2 = z2 − z1 ∈ I1 ∩ I2 = {0}. Bundan esa, y1 = y2 va z1 = z2 kelib chiqadi. Bundan foydalangan holda R halqadan I1 ⊕ I2 halqaga f (x) = (y, z) kabi akslantirish aniqlaymiz, bu yerda x = y + z, y ∈ I1, z ∈ I2.
Ushbu f : R → I1 ⊕ I2 akslantirish biyektiv akslantirish bo‘ladi. Endi uning gomomorfizm ekanligini ko‘rsatamiz. Agar x1, x2 ∈ R elementlar berilib, x1 =
y1 + z1, x2 = y2 + z2, bo‘lsa, u holda
x1 + x2 = y1 + z1 + y2 + z2 = (y1 + y2) + (z1 + z2),
x1 · x2 = (y1 + z1) · (y2 + z2) = y1 · y2 + y1 · z2 + z1 · y2 + z1 · z2 = y1 · y2 + z1 · z2.
Bundan esa
f (x1+x2) = f y1+y2+z1+z2 = (y1+y2, z1+z2) = (y1, z1)+(y2+z2) = f (x1)+f (x2),
f (x1 · x2) = f y1 · y2 + z1 · z2 = (y1 · y2, z1 · z2) = (y1, z1) · (y2, z2) = f (x1) · f (x2)
kelib chiqadi. Demak, f akslantirish biyektiv gomomorfizm, ya’ni izomorfizm bo‘ladi.
Agar A va B halqalar birlik elementli halqalar bo‘lsa, u holda (1, 0) va (0, 1) elementlar A ⊕ B halqaning idempotent elementlari bo‘lib, ularning yig‘indisi A ⊕ B halqaning birlik elementi bo‘ladi. Ya’ni, e = (1, 0) deb belgilasak, e va 1 − e elementlar A ⊕ B halqaning idempotent elementlari bo‘lib,
A ∼= eR, B ∼= (1 − e)R.
Boshqacha qilib aytganda,
R ∼= eR ⊕ (1 − e)R
munosabat o‘rinli. Shunday qilib, biz agar R halqa birlik elementli A va B
halqalarning to‘g‘ri yig‘indisidan iborat bo‘lsa, u holda R halqadagi e = (1, 0) idempotent element uchun R ∼= eR ⊕ (1 − e)R munosabat o‘rinli ekanligini
ko‘rsatdik. Quyidagi tasdiqda esa, ushbu munosabatning teskarisi ham o‘rinli ekanligini ko‘rsatamiz.
Dostları ilə paylaş: |
