Ushbu paragrafda biz maxsus halqalar bo‘lgan Nyoter va Artin halqalari haqida gaplashamiz. Ta’kidlash joizki, Nyoter va Artin halqalari mos ravishda o‘suvchi va kamayuvchi zanjirlarning uzilish shartlari orqali beriladi.
Bizga R halqa va uning A1, A1, . . . , As, . . . ideallari berilgan bo‘lsin.
5.6.1-ta’rif. Agar R halqadagi ixtiyoriy o‘suvchi ideallar ketma-ketligi
A1 ⊆ A2 ⊆ · · · ⊆ As ⊆ . . .
uchun shunday n soni topilib, An = An+1 = . . . munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda
R halqa o‘suvchi zanjirlarning uzilish shartini qanoatlantiradi deb ataladi.
5.6.2-ta’rif. Agar R halqadagi ixtiyoriy kamayuvchi ideallar ketma-ketligi
A1 ⊇ A2 ⊇ · · · ⊇ As ⊇ . . .
uchun shunday n soni topilib, An = An+1 = . . . munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda R
halqa kamayuvchi zanjirlarning uzilish shartini qanoatlantiradi deb ataladi. Boshqacha qilib aytganda, ixtiyoriy qat’iy o‘suvchi (kamayuvchi) zanjiri chekli bo‘lgan halqaga o‘suvchi zanjirlarning uzilish shartini (kamayuvchi zanjirlarning uzilish shartini) qanoatlantiradi deyiladi. 5.6.1-misol. Butun sonlar halqasi Z o‘suvchi zanjirlarning uzilish shartini qanoatlantirib, kamayuvchi zanjirlarning uzilish shartini qanoatlantirmaydi. Haqiqatdan ham, agar Z halqaning
A1 ⊆ A2 ⊆ · · · ⊆ As ⊆ . . .
o‘suvchi zanjiri berilgan bo‘lsa, u holda qandaydir mi sonlar uchun Ai = miZ bo‘lib, mi+1 | mi munosabat o‘rinli bo‘ladi. m1 son chekli bo‘lganligi va uning bo‘luvchilari soni chekli ekanligidan ixtiyoriy qat’iy o‘suvchi zanjir chekli ekanligi kelib chiqadi. Demak, Z halqa o‘suvchi zanjirlarning uzilish shartini qanoatlanti- radi.
Lekin Z halqada cheksiz ko‘p ideallardan iborat
2Z ⊇ 4Z ⊇ · · · ⊇ 2sZ ⊇ . . .
kamayuychi zanjir mavjud. Shuning uchun Z halqa kamayuvchi zanjirlarning uzi- lish shartini qanoatlantirmaydi.
