O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

5.6.2-teorema. R halqa Artin halqasi bo‘lishi uchun, uning ixtiyoriy ideallar sinfi minimal elementga ega bo‘lishi zarur va yetarli.
Quyida Artin halqasi bo‘lib, Nyoter halqasi bo‘lmaydigan halqaga misol kelti- ramiz.

Z
5.6.3-misol. Ixtiyoriy p tub son uchun

(p^∞) = ^a _pn

∈ Q | 0 ≤ a < pⁿ, n ∈ N

to‘plamni qaraymiz. Ushbu to‘plamda a ⊕ b = (a + b)(mod 1), a Ⓢ b = 0 amal- larni qarasak, (Z(p^∞), ⊕, Ⓢ) uchlik birlik elementga ega bo‘lmagan kommutativ halqa tashkil qiladi. Ushbu halqadagi ko‘paytma trivial bo‘lganligi uchun ixtiyoriy (Z(p^∞), ⊕) qism gruppa ideal bo‘ladi.

Aytaylik, Z(p^∞) halqaning qandaydir I ideali berilgan bo‘lib, k soni qanday-

_pk
dir q element uchun ^q ∈/ I shart bajariluvchi eng kichik son bo‘lsin. Ma’lumki,

_pk

=
EKUB(q, p) = 1 bo‘ladi, aks holda p | q bo‘lib, ^q

a _pk−1
∈/ I munosabatdan k

sonining eng kichik ekanligiga ziddiyat hosil qilamiz. Endi I idealning
1 2 p^k−1 − 1

J_k−1 = {0, _pk−1 , _pk−1 , . . . ,
_pk−1 ^}

qism to‘plamini qarab, I = J ekanligini ko‘rsatamiz.

_pn
Faraz qilaylik, I idealda ^r , n ≥ k element mavjud bo‘lsin, bu yerda

=
EKUB(r, p) = 1. U holda shunday x, y butun sonlar topilib, xr + yp = 1. Ikkinchi

_pk
tomondan esa ^xr
(xp^n−k)r _pn
yr y

=

va

_pk _pk−1
elementlar I idealda yotganligi uchun

=
1 ^xr+yp

_pk _pk
∈ I. Bundan esa, ixtiyoriy q uchun _pk
∈ I bo‘lib, bu k sonining tanla-

q

_pn
nishiga zid. Demak, I idealning barcha elementlari ^r , n < k ko‘rinishida bo‘ladi. Bundan esa, J = I kelib chiqadi. Shunday qilib, biz Z(p^∞) halqaning ixtiyoriy xos ideali chekli ekanligini ko‘rsatdik. Bundan esa, ixtiyoriy kamayuvchi zanjirning chekli ekanligi kelib chiqadi. Ya’ni, (Z(p^∞) halqa Artin halqasi.
Lekin
J₁ ⊂ J₂ ⊂ · · · ⊂ J_k ⊂ . . .
qat’iy o‘suvchi zanjirni qarasak, bu zanjir chekli emas, ya’ni Z(p^∞) halqa Nyoter halqasi emas.
Endi Nyoter halqalarining gomomorf obrazi va ularning to‘g‘ri yig‘indilarini o‘rganamiz.