O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

Halqalarning to‘g‘ri yig‘indisi

Bizga A va B halqalar berilgan bo‘lsin. Ushbu to‘plamlarning A × B dekart ko‘paytmasida quyidagi amallarni aniqlaymiz
(a₁, b₁) + (a₂, b₂) = (a₁ + a₂, b₁ + b₂), (a₁, b₁) · (a₂, b₂) = (a₁ · a₂, b₁ · b₂),
bu yerda a₁, a₂ ∈ A, b₁, b₂ ∈ B bo‘lib, birinchi va ikkinchi komponentalar bo‘yicha yig‘indi va ko‘paytmalar mos ravishda A va B halqalardagi aniqlangan amallardir.
U holda A × B to‘plam yuqorida aniqlangan amallarga nisbatan halqa tashkil qilib, ushbu halqa A va B halqalarning to‘g‘ri yig‘indisi deb ataladi va A ⊕ B kabi belgilanadi. Ushbu halqada nol element (0, 0) ko‘rinishida bo‘lib, agar A va B halqalar birlik elementli halqalar bo‘lsa, u holda (1, 1) element birlik element vazifasini bajaradi. A va B halqalarning to‘g‘ri yig‘indisi nolning bo‘luvchilariga ega bo‘lgan halqa hisoblanadi, chunki, (a, 0) · (0, b) = (0, 0) ekanligidan (a, 0) va (0, b) ko‘rinishidagi elementlar nolning bo‘luvchisi ekanligi kelib chiqadi.

Biz yuqorida ikkita halqaning to‘g‘ri yig‘indisini aniqlagan bo‘lsak, induktiv tarzda bir nechta R₁, R₂, . . . , R_n halqalarning ham to‘g‘ri yig‘indisini aniqlash mumkin, ya’ni R₁ ×R₂ ×· · ·×R_n to‘plamda har bir komponenta bo‘yicha qo‘shish va ko‘paytirish amallarini aniqlash orqali halqa hosil qilish mumkin.
5.5.1-misol. Z₂ ⊕ Z₃ halqaning elementlari
(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2)

ko‘rinishida bo‘lib, (0, 0) halqaning nol elementi, (1, 1) esa halqaning birlik ele- menti bo‘ladi.

Ta’kidlash joizki, ushbu halqa Z₆ halqaga izomorf, chunki, quyidagicha aniqlan- gan

f (0, 0) = 0, f (1, 1) = 1, f (0, 2) = 2

f (1, 0) = 3, f (0, 1) = 4, f (1, 2) = 5
akslantirish Z₂ × Z₃ halqani Z₆ halqaga o‘tkazuvchi izomorfizm bo‘ladi.
Quyidagi tasdiqda esa, n va m sonlar o‘zaro tub bo‘lgan holda Z_n ⊕ Z_m halqa- ning Z_nm halqaga izomorf ekanligini ko‘rsatamiz.