O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

6.5.1-tasdiq. f (x) = xⁿ − 1 ko‘phadning Galua gruppasi kommutativdir.
Isbot. Aytaylik, ζ element birning n-darajali boshlang‘ich ildizi bo‘lsin. U holda f (x) ko‘phadning Galua gruppasi Gal(K(ζ), K) bo‘lib, ixtiyoriy ψ ∈ Gal(K(ζ), K) avtomorfizm uchun ψ(ζ) element yana f (x) ko‘phadning ildizi bo‘ladi. Demak, qandaydir k soni uchun ψ(ζ) = ζ^k tenglik o‘rinli. Agar ζ^k element boshlang‘ich ildiz bo‘lmasa, u holda qandaydir m < n uchun (ζ^k)^m = 1. Berilgan ψ avtomorfizmning teskarisini qarasak, ζ = ψ⁻¹(ζ^k) bo‘lib, ζ^m = ψ⁻¹((ζ^k)^m) = 1. Bu esa, ζ elementning boshlang‘ich ildiz ekanligiga zid, ya’ni ζ^k element bosh- lang‘ich ildiz. Demak, k va n sonlari o‘zaro tub.
Shunday qilib, biz har bir avtomorfizm uchun ζ boshlang‘ich ildizni ζ^k ga o‘tkazuvchi k elementni mos qo‘yamiz. Ushbu k soni n modul bo‘yicha aniqlani- shini hisobga olsak, biz Gal(K(ζ), K) grupppadan U_n gruppaga bo‘lgan Ψ(ψ) = k kabi aniqlanuvchi gomomorfizmni hosil qilamiz, bu yerda U_n gruppa Z_n che- girmalar halqasining teskarilanuvchi elementlaridan iborat multiplikativ gruppa. Ψ(ψ) = 1 bo‘lishidan ψ avtomorfizmning ayniy ekanligi kelib chiqqanligi uchun

Ψ : Gal(K(ζ), K) → U_n gomorfizm monomorfizm bo‘ladi. Demak, Galua grup- pasi U_n gruppaning qism gruppasiga izomorf. U_n gruppa kommutativ ekanligidan Gal(K(ζ), K) Galua gruppasining ham kommutativligi kelib chiqadi.

6.5.1-tasdiq isbotidan ko‘rinadiki, f (x) = xⁿ − 1 ko‘phad Galua gruppasi-
ning tartibi U_n gruppa tartibining bo‘luvchisi bo‘ladi. U_n gruppaning tartibi ϕ(n)−Eyler funksiyasining qiymatiga tengligidan Galua gruppasining tartibi ϕ(n) ning bo‘luvchisi ekanligi kelib chiqadi.
6.5.2-ta’rif. Xarakteristikasi nolga teng K maydon ustidagi f (x) = xⁿ − c ko‘phadning yoyilish maydoniga K maydonning sodda radikal kengaytmasi deb ataladi, bu yerda c ∈ K va c /= 0.
Ta’kidlash joizki, K maydonning xarakteristikasi nolga teng bo‘lganligi uchun f (x) = xⁿ − c ko‘phad separabel ko‘phad bo‘ladi. Ushbu f (x) ko‘phadning ildi- zlari ζ^kθ ko‘rinishida bo‘lib, K maydon ustidagi f (x) ko‘phadning yoyilish may- doni esa F = K(ζ, θ) maydondan iborat bo‘ladi, bu yerda ζ – birning n-darajali boshlang‘ich ildizi, θ esa f (x) ko‘phadning biror fiksirlangan ildizi.