O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

6.4.2-natija. Agar K ⊂ F separabel va normal kengaytmaning orasidagi L may- don K maydonning normal kengaytmasi bo‘lsa, u holda
^{Gal(L, K) ∼}= ^{Gal(F, K)/Gal(F, L).}
Isbot. Biz yuqoridagi teorema isbotida Ψ : Gal(F, K) → Gal(L, K) go- momorfizm qurib, ushbu gomomorfizmning yadrosi Gal(F, L) ga teng ekanligini ko‘rsatdik. Agar biz ushbu gomomorfizmning syurektiv ekanligini ko‘rsatsak, u holda izomorfizm haqidagi birinchi teoremaga ko‘ra natijaning isbotiga ega bo‘lamiz. Ma’lumki,
|Ψ(Gal(F, K))| = [Gal(F, K) : Gal(F, L)],
ya’ni Ψ gomomorfizm obrazining elementlari soni Gal(F, L) qism gruppaning Gal(F, K) gruppadagi indeksiga teng.
Ikkinchi tomondan gruppalar uchun Lagranj teoremasi va 6.1.4-tasdiqqa ko‘ra

[Gal(F, K) : Gal(F, L)] = ^{|Gal(F, K)|}

|Gal(F, L)|
₌ [F : K]
[F : L]
= [L : K] = |Gal(L, K)|.

Bu esa, Ψ(Gal(F, K)) = Gal(L, K) ekanligini, ya’ni Ψ gomomorfizmning syurektivligini bildiradi.

6.4.2-misol. Aytaylik, F maydon Q maydon ustidagi x³ − 2 ko‘phadning yoyilish maydoni bo‘lsin. U holda

x³ − 2 = (x − ^√3 2)(x +
√_{3 2}

2
(1 −

^√3i))(x +
√_{3 2}

2

(1 +
^√3i))

ekanligidan F = Q(^√3 2, ^√3i) kelib chiqadi_√. Agar _√Q ⊂ Q(^√3 2) ⊂ Q(^√3 2, ^√3i)
kengaytm_√alarni qar_√asak, x³ −_√2 _√va x² + ³ 2x + ³ 4 ko‘phadlar mos ravishda

√ √
Q ⊂ Q( ³ 2) va Q( ³ 2) ⊂ Q( ³ 2, 3i) kengaytmalar uchun minimal ko‘phadlar

bo‘lganligi uchun [F : Q] = [F : Q( ³ 2)] · [Q( ³ 2) : Q] = 6. Demak, |Gal(F, Q)| = 6.
Endi ushbu Galua gruppasining elementlarini aniqlaymiz. Buning uchun x³ −2
ko‘phadning ildizlarini

1
r = ^√3 2, r

√_{3 2}

2
=

2
(−1 +
^√3i), r₃ =
√_{3 2}

2
(−1 −

^√3i)

kabi belgilab olsak, ixtiyoriy ϕ ∈ Gal(F, Q) avtomorfizmni ushbu ildizlardagi qiymatlari orqali aniqlash mumkin. Ya’ni barcha avtomorfizmlar r₁, r₂, r₃ ele- mentlarning o‘rinlarini almashtiruvchi aklantirishlardan iborat bo‘ladi. Demak, Gal(F, Q) Galua gruppasi S₃ o‘rin almashtirishlar gruppasiga izomorf.
U holda S₃ o‘rin almashtirishlar gruppasining xos qism gruppalari
H₁ = {e, (1, 2)}, H₂ = {e, (1, 3)}, H₃ = {e, (2, 3)}, H₄ = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)}

√
bo‘lganligi uchun bu qism gruppalarga mos keluvchi oraliq maydonlar quyidagicha bo‘ladi

L₁ = Q(r₁), L₂ = Q(r₂), L₂ = Q(r₃), L₄ = Q( 3i).
H₁, H₂, H₃ qism gruppalar S₃ o‘rin almashtirishlar gruppasining normal qism gurppasi bo‘lmaganligi uchun L₁, L₂, L₃ kengaytmalar ham norm_√al emas, lekin H₄
gruppa normal qism gruppa bo‘lib, unga mos keluvchi L₄ = Q( 3i) maydon ham
Q maydonning normal kengaytmasi bo‘ladi.

Tenglamalarning radikallarda yechilishi

Bizga K maydonda f (x) separabel ko‘phad berilgan bo‘lib, F maydon esa K may- don ustidagi f (x) ko‘phadning yoyilish maydoni bo‘lsin.
6.5.1-ta’rif. K maydondagi f (x) ko‘phadning Galua gruppasi deb, Gal(F, K) gruppaga aytiladi, bu yerda F maydon K maydon ustidagi f (x) ko‘phadning yoyi- lish maydoni.
Aytaylik, f (x) ko‘pdanning ildizlari α₁, α₂, . . . , α_n bo‘lsin. Ma’lumki, Galua gruppasining har bir ϕ ∈ Gal(F, K) elementi va ixtiyoriy α_i ildiz uchun ϕ(α_i)

element yana f (x) ko‘phadning ildizi bo‘ladi. ϕ avtomorfizm o‘zaro bir qiymatli akslantirish bo‘lganligi va α₁, α₂, . . . , α_n ildizlar turli xil ekanligi uchun ushbu ϕ avtomorfizmni S_n gruppaning elementi sifatida qarasa bo‘ladi. Demak, darajasi n ga teng bo‘lgan f (x) ko‘phadning Galua gruppasini S_n gruppaning qism gruppasi sifatida qarash mumkin.

Biz dastlab, xarakteristikasi 3 dan farqli bo‘lgan ixtiyoriy maydonda berilgan kubik ko‘phadning Galua gruppasini o‘rganamiz. Ma’lumki, ixtiyoriy
f (x) = x³ + βx² + γx + δ

3
kubik ko‘phadni x = u − ^β kabi almashtirish bajarib, g(x) = x³ + bx + c shaklga

keltirish mumkin. Shuning uchun biz g(x) = x³ + bx + c ko‘phadning Galua gruppasini o‘rganish bilan chegaralanamiz.
Aytaylik, g(x) = x³ + bx + c ko‘phad K maydon ustida keltirilmas bo‘lsin, u holda ushbu ko‘phad K maydonda ildizga ega bo‘lmasdan, K maydon ustidagi g(x) ko‘phadning yoyilish maydonida α₁, α₂, α₃ ildizlarga ega bo‘ladi. Demak,
g(x) = (x − α₁)(x − α₂)(x − α₃)

hamda

α₁ + α₂ + α₃ = 0, α₁α₂ + α₁α₃ + α₂α₃ = b, α₁α₂α₃ = −c.

Quyidagi belgilashlarni kiritamiz

d = (α₂ − α₁)(α₃ − α₁)(α₃ − α₂), D = d² = (α₂ − α₁)²(α₃ − α₁)²(α₃ − α₂)².
U holda ∀ϕ ∈ Gal(F, K) avtomorfizm uchun ϕ(D) = D hamda ϕ(d) = d yoki
ϕ(d) = −d bo‘ladi. Bundan tashqari, D = −4b³ − 27c² munosabat o‘rinli.
6.5.1-teorema. Aytaylik, g(x) = x³ +bx +c ko‘phad K maydon ustida keltirilmas va separabel bo‘lib, F maydon K maydon ustidagi f (x) ko‘phadning yoyilsih may- doni bo‘lsin. Agar D soni K maydonda biror sonning kvadrati shaklida ifodalansa,
^{u holda Gal(F, K) ∼}= ^{A3, aks holda Gal(F, K) ∼}= ^S3.
Isbot. D = −4b³ − 27c² bo‘lganligi uchun D ∈ K. Aytaylik, D soni K may- donda biror sonning kvadrati shaklida ifodalansin, ya’ni d ∈ K bo‘lsin, u holda ixtiyoriy ϕ ∈ Gal(F, K) uchun ϕ(d) = d bo‘lib, Gal(F, K) gruppa S₃ o‘rin al- mashtirishlar gruppasining faqat juft o‘rin almashtirishlarini o‘z ichiga oluvchi qism gruppasiga izomorf bo‘ladi. f (x) kop‘hadning ildizlari turli xil bo‘lganligi
^{uchun Gal(F, K) /= {e}. Demak, Gal(F, K) ∼}= ^A3.
Agar D soni K maydonda biror sonning kvadrati shaklida ifodalanmasa, u
holda d ∈/ K bo‘lib, Gal(F, K) Galua gruppasining tartibi 3 dan katta va u S₃

gruppaning toq o‘rin almashtirishlarni ham o‘z ichiga oluvchi qism gruppasiga ^{izomorf. Demak, Gal(F, K) ∼}= ^S3.

Endi biror K maydonda f (x) = xⁿ − 1 ko‘phadni qaraymiz. Ma’lumki ushbu
ko‘phadning ildizlari birning n-darajali ildizlari deb ataladi. Ushbu ko‘phad uchun
(xⁿ − 1) = (x − 1)(xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻² + · · · + 1)
tenglik o‘rinli bo‘lib, x = 1 element ushbu tenglamaning eng sodda ildizi, qolgan ildizlari esa xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻² + · · · + 1 ko‘phadning ildizlaridan iborat bo‘ladi.
Xususan, K maydon kompleks sonlar maydoning qism maydoni bo‘lsa, u holda
f (x) = xⁿ − 1 ko‘phadning ildizlari

ξ_k = cos
ko‘rinishida bo‘ladi.

2πk
+ isin
n
2πk
_n , k = 0, 1, . . . n − 1

Kompleks sonlar maydoni ustida bo‘lgani kabi ixtiyoriy K maydondagi bir- ning n-darajali ildizlari to‘plami ko‘paytirish amaliga nisbatan gruppa tashkil qi- ladi. Ushbu gruppaning tashkil qiluvchi elementlari esa birning n-darajali bosh- lang‘ich ildizlari deb ataladi. Demak, ζ element birning n-darajali boshlang‘ich ildizi bo‘lishi uchun {ζ^k | 0 ≤ k ≤ n−1} to‘plam birning barcha n-darajali ildizlari to‘plami bilan ustma-ust tushishi zarur va yetarli. K maydonnni ζ boshlang‘ich ildiz bo‘yicha kengaytmasi F = K(ζ) maydon birning barcha n-darajali ildizla- rini o‘z ichiga olganligi uchun, K(ζ) maydon K maydon ustidagi f (x) = xⁿ − 1 ko‘phadning yoyilish maydoni bo‘ladi.