O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

1. 
   
   Quyidagi kengaytmalarning darajalarini toping va bazislarini aniqlang:
   
   • 
     
     Q ⊂ Q(^√3).
     
   • 
     
     Q ⊂ Q(^√3 5).
     
   • 
     
     Q ⊂ Q(^√2, ^√7).
     
   • 
     
     Q ⊂ Q(^√2, ^√3 2).
     
   • 
     
     Q(^√3) ⊂ Q(^√3, ^√7).
     
   • 
     
     Q ⊂ Q(^√2 + ^√3).
     
   • 
     
     Q ⊂ Q(^√3 + ^√5).
     
   • 
     
     Q ⊂ Q(^√2 + ^√3 2).
     
2. 
   
   Quyidagi ko‘phadlarning ko‘rsatilgan maydonlarda keltirilmas ekanligini is- botlang:
   
   • 
     
     f (x) = x² − 5, F = Q(^√2).
     
   • 
     
     f (x) = x² − 7, F = Q(^√3).
     
   • 
     
     f (x) = x⁴ + 3x² − 7x + 1, F = Q.
     
   • 
     
     f (x) = x⁴ + x + 1, F = Z₂.
     
   • 
     
     f (x) = x³ + 3x + 2, F = Z₅.
     
3. 
   
   Q ratsional sonlar maydoni ustida quyidagi sonlarga mos keluvchi minimal ko‘phadlarni toping:
   

• 
  
  √
  

•
√2 + √3. 2 + √5.

• 
  
  ^√2 − ^√2.
  
• 
  

  √
  6 + 3^√2.

  
  
1. 
   
   Quyidagi maydonlar ustidagi ko‘phadlarning yoyilish maydonlarini aniqlang va kengaytmalarning darajasini toping:
   
   • 
     
     K = Q, f (x) = x⁴ − 2.
     
   • 
     
     K = Q, f (x) = x⁴ + 4.
     
   • 
     
     K = Q, f (x) = x³ − 3.
     
   • 
     
     K = Q, f (x) = x⁴ − 5x² + 6.
     
   • 
     
     K = Q, f (x) = x⁴ − 10x² + 21.
     
   • 
     
     K = Q, f (x) = x⁴ + x² + 1.
     
   • 
     
     K = Q, f (x) = x⁶ + x³ + 1.
     
   • 
     
     K = Z₂, f (x) = x² + 1.
     
   • 
     
     K = Z₅, f (x) = x² + x + 1.
     
2. 
   
   Gal(C, R) Galua gruppasining tartibini aniqlang, bu yerda C va R mos ra- vishda kompleks va haqiqiy sonlar maydonlari.
   
3. 
   
   Q(^√3 5) = Q(^√3 25) ekanligini ko‘rsating.
   
4. 
   
   Agar F = Q(^√2, ^√3, ^√5) bo‘lsa, Gal(F, Q) Galua gruppasining tartibini
   

aniqlang.

8. 
   
   Q ⊂ Q(i, ^√3) maydonlar orasidagi barcha mayonlarni aniqlang.
   
9. 
   
   Ratsional sonlar maydoni ustida berilgan quyidagi ko‘phadlarning Galua gruppalarini toping:
   
   • 
     
     f (x) = x² − x + 1.
     
   • 
     
     f (x) = x⁴ − 1.
     
   • 
     
     f (x) = x³ − x − 1.
     
   • 
     
     f (x) = x³ − 3x + 1.
     
   • 
     
     f (x) = x³ − 2.
     
   • 
     
     f (x) = x³ − 7.
     
   • 
     
     f (x) = (x² − 2)(x² − 5).
     
   • 
     
     f (x) = x⁴ + x³ + x² + x + 1.
     
   • 
     
     f (x) = x⁴ + x² + 1.
     
   • 
     
     f (x) = (x² − 3x + 1)(x³ − 2).
     
10. 
    
    Ratsional sonlar maydoni ustida berilgan f (x) = x⁵ − 10x⁴ + 2x³ − 24x² + 2 ko‘phadning Galua gruppasi S₅ ga izomorf ekanligini ko‘rsating.
    

Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati

1. 
   
   Ayupov Sh.A., Omirov B.A. Xudoyberdiyev A.X., Haydarov F.H. Algebra va sonlar nazaryasi. “Tafakkur bo‘stoni”, 2019 y. 296 b.
   
2. 
   
   Xodjiyev D.X., Faynleyb A.S. Algebra va sonlar nazaryasi kursi. “O‘zbekiston”, 2001 y. 304 b.
   
3. 
   
   Artin M. Algebra. 2nd Edition, “Pearson Education”, 2018, p. 560.
   
4. 
   
   Ash R.B. Abstract Algebra. “Dover Publication”, 2006, p. 674.
   
5. 
   
   Dummit D.S., Foote R.M. Abstract Algebra. 3rd Edition. “Wiley”, 2003, p. 944.
   
6. 
   
   Fraleigh J.B., Brand N. A First Course in Abstract Algebra. 8th Edi- tion. “Pearson Education”, 2020, p. 443.
   
7. 
   
   Grillet P.A. Abstract Algebra. “Springer”, 2007, p. 674.
   
8. 
   
   Hungerford T.W. Algebra. “Springer”, 1974, p. 504.
   
9. 
   
   Lang S. Algebra. “Springer”, 2002, p. 933.
   
10. 
    
    Malik D.S., Mordeson J.N., Sen M.K. Fundamentals of abstract algebra. “WCB McGrew-Hill”, 1997, p.636.
    
11. 
    
    Ван-дер-Варден Б.Л.. Алгебра. “Мир”, 1976, 648 с.
    
12. 
    
    Винберг Э.Б. Курс алгебры. “Факториал пресс”, 2001, 544 с.
    
13. 
    
    Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. “Наука”, 1982, 288 с.
    
14. 
    
    Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. “Физматлит”, 2004, 272 с.
    
15. 
    
    Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. “Физматлит”, 1973, 400 с.
    
16. 
    
    Курош А.Г. Теория групп. “Наука”, 1967, 648 с.
    
17. 
    
    Постников М.М. Теория Галуа. “Факториал пресс”, 2003, 304 с.
    
18. 
    
    Проскуряков И.Л. Сборник задач по линейной алгебре. “Лань”, 2010 г. 480 с.
    
19. 
    
    Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. “Наука”, 1983, 272 с.
    
20. 
    
    Сборник задач по алгебре. Под редакцией, Кострикина А.И. “Физмат- лит”, 2001. 464 с.
    

Tushuncha va atamalarning qisqacha lug‘ati

O‘zbekcha	Ruscha	Inglizcha	Bet
algebraik element	алгебраический элемент	algebraic element	208
algebraik kengaytma	алгебраические	algebraic extension	209
	расширение
algebraik sistema	алгебраическая система	algebraic system	7
Artin halqasi	Артиново кольцо	Artinian ring	199
avtomorfizm	автоморфизм	automorphism	57, 177
binar amal	бинарная операция	binary operation	7
birlamchi ideal	первичный идеал	prime ideal	187
bosh ideal	главный идеал	principal ideal	169
Bul halqasi	Булево кольцо	Boolean ring	160
buralish	кручение	torsion	87
butunlik sohasi	область целостности	integral domain	156
davriy gruppa	периодическая группа	periodic group	89
		(torsion group)
davriy qism	периодическая часть	periodic part	87
		(torsion part)
diedr gruppasi	группа диэдра	dihedral group	65
elementar bo‘luvchilar	элементарные делители	elementary divisors	94
erkin gruppa	свободная группа	free group	97
faktor gruppa	факторная группа	factor group	48
gomomorfizm	гомоморфизм	homomorphism	57, 176
gruppaning markazi	центр группы	center of a group	30
gruppaning tartibi	порядок группы	order of a group	11
halqa	кольцо	ring	156
hosilaviy qator	производный ряд	derived series	143
ideal	идеал	ideal	167
idempotent element	идемпотентный элемент	idempotent element	159
ikki yoqlama ideal	двухсторонний идеал	two-sided ideal	167
invariant faktorlar	инвариантные факторы	invariant factors	95
ichki avtomorfizm	внутренний	inner automorphism	76
	автоморфизм
ichki to‘g‘ri ko‘paytma	внутреннее прямое произведение	internal direct product	82

O‘zbekcha	Ruscha	Inglizcha	Bet
izomorfizm	изоморфизм	isomorphism	57, 177
ishora almashishlar	знакопеременная
gruppasi	группа	Alternating group	25
jism	тело	division ring	156
kamayuvchi zanjir	убывающая цепь	descending chain	195
kommutator	коммутатор	commutator	53
keltirilmas element	неприводимый элемент	irreducible element	185
kvaternion gruppasi	группа кватернионов	quaternion group	65
maksimal ideal	максимальный идеал	maximal ideal	189
markaziy qator	центральный ряд	central series	144
maydon	поля	field	159
monoid	моноид	monoid	8
moslik teoremasi	теорема о соответствии	correspondence
		theorem	74
nil ideal	ниль идеал	nil ideal	183
nilpotent gruppa	нильпотентная группа	nilpotent group	144
nilpotent element	нильпотентный элемент	nilpotent element	159
nilpotent ideal	нильпотентный идеал	nilpotent ideal	185
nolning bo‘luvchisi	делитель нуля	zero divisor	156
normal qism gruppa	нормальная подгруппа	normal subgroup	46
normal qator	нормальный ряд	normal series	139
normalizator	нормализатор	normalizer	52
Nyoter halqasi	Нетерово кольцо	Noetherian ring	199
orbita	орбита	orbit	107
primar ideal	примарный идеал	primary ideal	191
primar komponentalar	примарные компоненты	primary components	89
primitiv element	примитивный элемент	primitive element	208
qism gruppa	подгруппа	subgroup	28
qism halqa	подкольцо	subring	166
quyi qator	нижний ряд	descending series	145
qo‘zg‘almas nuqta	неподвижная точка	fixed point	111
qo‘shni sinflar	смежные классы	cosets	38
qo‘shma element	сопряженный элемент	conjugate element	108
radikal	радикал	radical	191
radikal kengaytma	радикальное расширение	radical extension	231
regulyar halqa	регулярное кольцо	regular ring	160