O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

4.2.2-teorema (Koshi teoremasi). Agar G gruppaning tartibi n ga teng bo‘lib, n soni p tub soniga bo‘linsa, u holda G gruppada tartibi p ga teng bo‘lgan element mavjud. Xususan, G gruppa tartibi p ga teng bo‘lgan siklik qism gruppaga ega.
Endi bevosita Silov teoremasi uchun kerak bo‘ladigan tushuncha va xossalarni keltirib o‘tamiz. Bizga biror G gruppa berilgan bo‘lsin. Ma’lumki, g ∗ a = g ·a ·g⁻¹ amal orqali G gruppaning o‘zidan o‘ziga ta’sir aniqlash mumkin. U holda ushbu ta’sirda a ∈ G elementning stabilizatori C(a) = {g ∈ G | a · g = g · a} to‘plamdan, orbitasi esa a bilan qo‘shma bo‘ladigan elementlardan iborat bo‘ladi, ya’ni
St(a) = C(a), orb(a) = {b ∈ G | b = g · a · g⁻¹}.
Bizga gruppaning to‘plamga ta’siri mavzusidan ma’lum bo‘lgan |orb(a)| = [G :
St(a)] tenglikdan esa |orb(a)| = ^|G| ekanligiga ega bo‘lamiz.

4.1.2-teoremaga ko‘ra esa

|C(a)|

Σ
|G| = [G : C(a)] (4.1)

a

tenglikka ega bo‘lamiz, bu yerda yig‘indi turli orbitalardan bittadan olingan ele- mentlar bo‘yicha olinadi.

Ma’lumki, agar a ∈ Z(G) bo‘lsa, u holda C(a) = G bo‘lib, orb(a) = {a}
bo‘ladi. Demak, (4.1) tenglikni

kabi yozish mumkin.

|G| = |Z(G)| +

Σ
a∈/Z(G)

[G : C(a)] (4.2)

4.2.1-misol. Agar S₃ o‘rin almashtirishlar gruppasi uchun yuqoridagi kabi ta’sir aniqlasak, u holda
Z(e) = G, Z (12) = {e, (12)}, Z (13) = {e, (13)}, Z (23) = {e, (23)}, Z (123) = Z (132) = {e, (123), (132)}

bo‘lib,
orb(e) = {e}, orb (12) = {(12), (13), (23)}, orb (132) = {(123), (132)}
bo‘ladi. Demak, S₃ gruppa uchta kesishmaydigan orbitalarga ajraladi.

Endi ushbu mavzudagi asosiy tushuncha hisoblangan p-gruppa va p-qism gruppa tushunchalarini kiritamiz.