O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

4.2.1-lemma. Agar kommutativ gruppaning tartibi p tub soniga bo‘linsa, u holda bu gruppaning tartibi p ga teng bo‘lgan elementi mavjud.
Isbot. Aytaylik, G kommutativ gruppa bo‘lib, n = |G| va p | n bo‘lsin. Lemma isbotini gruppa tartibiga nisbatan induksiya metodini qo‘llab amalga os- hiramiz. Agar n = 2 bo‘lsa, u holda teorema o‘rinli bo‘lishi ravshan. Lemmani
tartibi n dan kichik kommutativ gruppalar uchun o‘rinli deb faraz qilib, uni G

gruppa uchun isbotlaymiz. Aytaylik, a ∈ G, a e element uchun ord(a) = m

|
bo‘lsin. Agar p m bo‘lsa, u holda m = pk bo‘lib, (a^k)^p = a^m = e ekanligidan

g = a^k elementning tartibi p ga teng bo‘ladi.

m

p p

Agar p ‡ m bo‘lsa, u holda H = ⟨a⟩ qism gruppani qaraymiz. G gruppa kommutativ bo‘lganligi uchun H qism gruppa G da normal bo‘lib, G/H faktor gruppaning elementlari soni n dan kam bo‘ladi. Bundan tashqari, |G/H| = ^|G| va p ‡ m ekanligidan, p | |G/H| kelib chiqadi. Induksiya faraziga ko‘ra, G/H gruppada tartibi p ga teng bo‘lgan bH element mavjud, ya’ni (bH) = b H =
H. Bundan esa, b^p ∈ H kelib chiqadi. Agar g = b^m deb belgilasak, |H| = m bo‘lganligi uchun g^p = (b^m)^p = (b^p)^m = e, demak g^p = e bo‘ladi. Ma’lumki, g /= e, aks holda (bH)^m = H bo‘lib, p | m bo‘lar edi, bu esa ziddiyat. Demak, ord(g) = p, ya’ni G gruppada tartibi p ga teng bo‘lgan element mavjud.
Yuqoridagi lemmada tartibi p tub soniga bo‘linuvchi kommutativ gruppa a ∈ G, ord(a) = p elementga ega ekanligini ko‘rsatdik. p tub son bo‘lganligi uchun ushbu a element orqali hosil bo‘lgan ⟨a⟩ siklik gruppaning ham tartibi p ga teng, ya’ni G gruppa tartibi p ga teng bo‘lgan qism gruppaga ega. Bundan esa, kommutativ gruppalar tartibi gruppa tartibining tub bo‘luvchisiga teng bo‘lgan qism gruppalarga ega ekanligi kelib chiqadi.
Quyidagi teoremada esa, kommutativ gruppalar tartibi gruppa tartibining ix- tiyoriy bo‘luvchisiga teng bo‘lgan qism gruppaga ega ekanligini, ya’ni Lagranj teoremasining teskarisi kommutativ gruppalar uchun o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatamiz.
4.2.1-teorema. Aytaylik, G gruppa tartibi n ga teng bo‘lgan kommutativ gruppa bo‘lib, m soni n ning bo‘luvchisi bo‘lsin. U holda G gruppaning tartibi m ga teng bo‘lgan qism gruppasi mavjud.


Isbot. n = 1 va n = 2 uchun teorema o‘rinli ekanligi ravshan. Faraz qilaylik, tartibi n dan kichik kommutativ gruppalar uchun teorema o‘rinli bo‘lsin. Agar p tub soni uchun p | m bo‘lsa, u holda m = pm₁ bo‘lib, 4.2.1-lemmaga ko‘ra G gruppada tartibi p ga teng bo‘lgan H qism gruppa mavjud. G gruppa kommutativ bo‘lganligi uchun H normal qism gruppa bo‘lib, G/H faktor gruppa uchun

| |
G/H = ^|G| = ⁿ

|H| p
bo‘ladi.
|G/H| < n va m₁ | |G/H| bo‘lganligi uchun induksiya faraziga ko‘ra G/H faktor gruppada tartibi m₁ ga teng bo‘lgan K/H qism gruppa mavjud. Bu yerdagi K to‘plam G gruppaning qism gruppasi bo‘lib, |K| = |K/H| · |H| = m₁p = m ekanligidan uning tartibi m ga teng ekanligi kelib chiqadi.
Quyidagi teorema Koshi teoremasi nomi bilan atalib, unda tartibi p tub soniga bo‘linuvchi kommutativ bo‘lmagan gruppalar ham tartibi p ga teng bo‘lgan ele- mentga ega ekanligi ko‘rsatiladi. Ushbu teorema Silovning birinchi teoremasining xususiy holi bo‘lganligi uchun biz uni isbotsiz keltiramiz.