O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

4.3.3-misol. Tartibi 40 ga teng bo‘lgan gruppaning sodda emasligini ko‘rsating.
Yechish. Gruppaning tartibi 40 = 5 · 2³ bo‘lganligi uchun uning Silov 5-qism gruppasi mavjud. Ma’lumki, Silov 5-qism gruppalarining soni 5k + 1 bo‘lib, 5k + 1 | 40. Bundan esa k = 0, ya’ni Silov 5-qism gruppasining yagona ekan- ligini hosil qilamiz. Bu esa, Silov 5-qism gruppaning normal ekanligini bildiradi, ya’ni tartibi 40 ga teng bo‘lgan gruppa sodda emas. Q
4.3.4-misol. Tartibi 56 ga teng bo‘lgan gruppaning sodda emasligini ko‘rsating.
Yechish. Gruppaning tartibi 56 = 7 · 2³. Aytaylik, n₇ va n₂ mos ravishda gruppaning Silov 7 va 2-qism gruppalari soni bo‘lsin. U holda n₇ = 7m + 1 va n₂ = 2k + 1 bo‘lib, n₇ | 56 va n₂ | 56 bo‘ladi. Bundan esa, n₇ = 1 yoki 8 ekanligini, n₂ = 1 yoki 7 bo‘lishini hosil qilamiz. Agar n₇ = 1 bo‘lsa gruppaning yagona Silov 7-qism gruppasi mavjud bo‘lib, u normal bo‘ladi. O‘z navdatida n₂ = 1 bo‘lsa, gruppaning yagona Silov 2-qism gruppasi normal bo‘ladi. Demak, n₇ = 1 yoki n₂ = 1 bo‘lgan hollarda gruppa sodda emas.
Aytaylik, n₇ = 8 va n₂ = 7 bo‘lsin, u holda gruppaning 8 ta A₁, A₂, . . . , A₈ Silov 7-qism gruppalari va 7 ta B₁, B₂, . . . , B₇ Silov 2-qism gruppalari mavjud. Ushbu Silov 7-qism gruppalari uchun |A_i| = 7 va A_i ∩ A_j = {e} tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Ixtiyoriy a ∈ A_i, a /= e elementning tartibi 7 ga teng bo‘lganligidan G gruppada tartibi 7 ga teng bo‘lgan 48 ta element mavjudligini hosil qilamiz.

Ikkinchi tomindan barcha B_i Silov 2-qism gruppalar 8 ta elementli bo‘lib,
|B₁ ∩ B₂| ≤ 4 bo‘ladi. Bundan esa, B₁ ∪ B₂ to‘plam kamida 12 ta element- dan iborat ekanligi, hamda bu elementlarning barchasining tartibi 7 dan farqli bo‘lishi kelib chiqadi. Shunday qilib, biz gruppada tartibi 7 ga teng bo‘lgan 48 ta, tartibi 7 dan farqli 12 ta element mavjudligini ko‘rsatdik. Bu esa, gruppaning elementlari soni 56 ta ekanligiga zid. Demak, n₇ = 8 va n₂ = 7 bo‘lishi mumkin emas. Q
Shunday qilib, biz yuqoridagi mulohazalar va misollar orqali quyidagi teore- mani hosil qildik.
4.3.5-teorema. Tartibi 60 dan kichik bo‘lgan nokommutativ sodda gruppa mavjud emas.
Endi tartibi 60 ga teng bo‘lgan sodda gruppalarni o‘rganamiz. Ma’lumki, tartibi 60 ga teng bo‘lgan kommutativ gruppalar sodda emas, chunki 60 soni mu- rakkab son. Biz 1.5.4-teoremada A₅ gruppaning sodda ekanligini isbotlagan edik. Ushbu gruppaning tartibi 60 ga teng bo‘lib, u nokommutativ gruppadir. Demak, tartibi 60 ga teng bo‘lgan sodda gruppa mavjud. Tabiiy ravishda, A₅ gruppadan boshqa tartibi 60 ga teng bo‘lgan sodda gruppa mavjudmu degan savol tug‘iladi. Ushbu savolga javob berish uchun dastlab quyidagi lemmani isbotlaymiz.