O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

4.4.1-ta’rif. • Agar (4.3) qatorda H_i qism gruppa H_i+1 ning normal qism grup- pasi bo‘lsa, u holda ushbu qatorga subnormal qator deyiladi.

• 
  
  Agar (4.3) qatorda har bir H_i qism gruppa G gruppaning normal qism grup- pasi bo‘lsa, u holda ushbu qatorga normal qator deyiladi.
  

Ta’kidlash joizki, ixtiyoriy normal qator subnormal qator bo‘ladi. Chunki, H_i gruppa G da normal bo‘lishidan H_i+1 da ham normal bo‘lishi kelib chiqadi. Ushbu H_i/H_i+1 faktor gruppalarga faktorlar deb ataladi. Agar H_i = H_i+1 bo‘lsa, u holda H_i/H_i+1 faktorga trivial faktor deb ataladi. Demak, subnormal(normal) qatorning uzunligi, bu trivial bo‘lmagan faktorlarning soniga teng bo‘ladi.
Agar G gruppada H₀ = G va H₁ = {e} deb olsak, u holda ixtiyoriy gruppaning
normal qatorga ega ekanligini hosil qilamiz, ya’ni
G = H₀ ⊇ H₁ = {e}.
Ushbu normal qator trivial normal qator deb ataladi.
Quyidagi misolda subnormal bo‘lib, normal bo‘lmaydigan qatorga misol kelti- ramiz.
4.4.1-misol. S₄ o‘rin almashtirishlar gruppasida
H₁ = {e, (1 2) ◦ (3 4), (1 3) ◦ (2 4), (1 4) ◦ (2 3)}

va
H₂ = {e, (1 2) ◦ (3 4)}

deb olsak, S₄ = H₀ ⊃ H₁ ⊃ H₂ ⊃ H₃ = {e} qator subnormal qator bo‘lib, normal qator bo‘lmaydi. Chunki, H₂ qism gruppa H₁ qism gruppada normal, lekin S₄ gruppaning normal qism gruppasi emas.
Kommutativ gruppalar uchun ixtiyoriy subnormal qator, normal qator bo‘ladi, chunki kommutativ gruppalarning ixtiyoriy qism gruppasi normal qism gruppa bo‘ladi. Masalan, (Z₁₂, +₁₂) gruppaning quyidagi normal qatorlari mavjud:
Z₁₂ ⊃ ⟨6⟩ ⊃ {0},
Z₁₂ ⊃ ⟨3⟩ ⊃ ⟨6⟩ ⊃ {0}, Z₁₂ ⊃ ⟨2⟩ ⊃ ⟨4⟩ ⊃ {0}, Z₁₂ ⊃ ⟨2⟩ ⊃ ⟨6⟩ ⊃ {0}.
Endi subnormal qatorlarning ekvivalentligi tushunchasini kiritamiz.