O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

4.4.2-ta’rif. Bizga G gruppaning ikkita subnormal qatorlari berilgan bo‘lsin:
G = H₀ ⊇ H₁ ⊇ H₂ ⊇ · · · ⊇ H_n−1 ⊇ H_n = {e}, (4.4)
G = K₀ ⊇ K₁ ⊇ K₂ ⊇ · · · ⊇ K_m−1 ⊇ K_m = {e}. (4.5)
Agar ushbu subnormal qatorlarning faktorlari o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatish mumkin bo‘lib, mos faktorlar o‘zaro izomorf bo‘lsa, u holda ushbu qator- lar ekvivalent deyiladi.
Ta’rifdan ko‘rinadiki, ekvivalent subnormal qatorlarning uzunliklari teng bo‘ladi. Quyidagi misolda butun sonlar gruppasininng ikkita ekvivalent subnor- mal qatorlariga misol keltiramiz.
4.4.2-misol. Z gruppaning quyidagi subnormal qatorlarini qaraymiz:
Z ⊃ 4Z ⊃ 12Z ⊃ 24Z ⊃ 120Z ⊃ {0}, (4.6)
Z ⊃ 2Z ⊃ 8Z ⊃ 24Z ⊃ 120Z ⊃ {0}. (4.7)
Birinchi qatorning faktorlari
^{Z/4Z ∼}= ^{Z4, 4Z/12Z ∼}= ^{Z3, 12Z/24Z ∼}= ^{Z2, 24Z/120Z ∼}= ^{Z5, 120Z/{0} ∼}= ^Z
bo‘lsa, ikkinchi qatorning faktorlari esa,
^{Z/2Z ∼}= ^{Z2, 2Z/8Z ∼}= ^{Z4, 8Z/24Z ∼}= ^{Z3, 24Z/120Z ∼}= ^{Z5, 120Z/{0} ∼}= ^Z.
bo‘ladi.
Ko‘rinib turibdiki, ushbu faktorlar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik mavjud bo‘lib, ular izomorf bo‘ladi. Demak, ushbu ukkita subnormal qator ekvivalent bo‘lar ekan.
Endi yechiluvchan gruppa ta’rifini kiritamiz.

4.4.3-ta’rif. Agar G gruppada
G = H₀ ⊇ H₁ ⊇ H₂ ⊇ · · · ⊇ H_n−1 ⊇ H_n = {e}
subnormal qator mavjud bo‘lib, H_i/H_i+1 faktor gruppalar kommutativ bo‘lsa, u holda G gruppaga yechiluvchan gruppa deb ataladi. Berilgan qatorga esa G gruppaning yechiluvchan qatori deyiladi.
Ma’lumki, ixtiyoriy kommutativ gruppa yechiluvchandir, chunki kommutativ gruppaning trivial normal qatori ham yechiluvchan qator bo‘ladi. Shuning uchun S₁ va S₂ gruppalar yechiluvchan gruppalar bo‘ladi. Quyidagi misollarda S₃ va S₄ gruppalarning yechiluvchan ekanligini ko‘rsatamiz.
4.4.3-misol. S₃ o‘rin almashtirishlar gruppasida H₁ = {e, (1 2 3), (1 3 2)} qism gruppani qarasak,
S₃ ⊃ H₁ ⊃ {e}
qator yechiluvchan qator bo‘ladi. Demak, S₃ yechiluvchan gruppa.
4.4.4-misol. S₄ o‘rin almashtirishlar gruppasida H₁ = A₄ va H₂ =
{e, (1 2) ◦ (3 4), (1 3) ◦ (2 4), (1 4) ◦ (2 3)} qism gruppalarni qarasak,
S₄ ⊃ H₁ ⊃ H₂ ⊃ {e}
qator yechiluvchan qator bo‘ladi. Demak, S₄ yechiluvchan gruppa.
Demak, S_n o‘rin almashtirishlar gruppasi n ≤ 4 bo‘lganda yechiluvchan gruppa bo‘lar ekan. Biz keyinroq S_n, n ≥ 5 gruppalarning yechiluvchan bo‘lmasligini is- botlaymiz. Quyidagi teoremada esa ixtiyoriy yechiluvchan gruppaning qism grup- pasi ham, gomomorf obrazi ham yechiluvchan bo‘lishini ko‘rsatamiz.