4.4.4-ta’rif. Agar G gruppada Gi/Gi+1 ⊆ Z(G/Gi+1) shartni qanoatlantiruvchi
G = G0 ⊇ G1 ⊇ G2 ⊇ · · · ⊇ Gn−1 ⊇ Gn = {e}
normal qator mavjud bo‘lsa, u holda G gruppaga nilpotent gruppa deb ataladi. Berilgan qatorga esa G gruppaning markaziy qatori deyiladi.
Ta’kidlash joizki, ixtiyoriy normal qator subnormal bo‘lganligi va Z(G/Gi) gruppaning kommutativligidan, ixtiyoriy nilpotent gruppaning yechiluvchan ekan- ligi kelib chiqadi. Bundan tashqari, ixtiyoriy kommutativ gruppa ham nilpotent bo‘ladi. Quyidagi misolda esa, yechiluvchan S3 gruppaning nilpotent emasligini ko‘rsatamiz. 4.4.5-misol.S3 o‘rin almashtirishlar gruppasi uchun ikkita normal qator mavjud bo‘lib, ular quyidagilardan iboratdir
S3 ⊇ {e}
va
S3 ⊇ {e, (1 2 3), (1 3 2)} ⊇ {e}.
Birinchi qator uchun S3/{e} ¢ Z(S3/{e}) ekanligi ravshan.
Ikkinchi qator uchun esa H1/{e} ¢ Z(S3/{e}) bo‘ladi, bu yerda H1 =
{e, (1 2 3), (1 3 2)}. Demak, S3 gruppa nilpotent emas.
Quyidagi teoremada ixtiyoriy chekli p-gruppasining nilpotent ekanligini ko‘rsatamiz.
4.4.6-teorema. Chekli p-gruppa nilpotent bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, G gruppa chekli p-gruppa bo‘lsin. Agar |G| = 1 bo‘lsa, u holda uning nilpotent ekanligi ma’lum. Aytaylik, |G| > 1 bo‘lsin, u holda p- gruppaning markazi uchun |Z(G)| > 1 ekanligidan H1 = Z(G) /= {e} bo‘ladi (4.2.3-teoremaga ko‘ra). Agar G /= Z(G) bo‘lsa, u holda |G/Z(G)| > 1 bo‘lib, G/Z(G) ham p-gruppa bo‘lganligi uchun |Z(G/H1)| > 1. U holda G gruppaning shunday H2 normal qism gruppasi topilib, H1 ⊂ H2 va H2/H1 = Z(G/H1) bo‘ladi.
Natijada biz {e} ⊂ H1 ⊂ H2 qatorni hosil qilamiz. Agar G
ushbu jarayonni yana davom ettirgan holda,
{e} ⊂ H1 ⊂ H2 ⊂ · · · ⊂ Hn H2 bo‘lsa, u holda
normal qatorni hosil qilamiz. G gruppa chekli bo‘lganligi uchun bu jarayon chekli qadamdan keyin to‘xtaydi, ya’ni Hn = G bo‘ladi. Ushbu normal qator uchun Hi+1/Hi = Z(G/Hi) ekanligidan G gruppaning nilpotentligi kelib chiqadi.
Endi berilgan G gruppa uchun quyi markaziy qator tushunchasini kiritamiz.
Gruppaning G[i] qism gruppalarini quyidagicha aniqlaymiz
G[1] = G, G[2] = [G[1], G], . . . , G[i] = [G[i−1], G], i ≥ 1. U holda ushbu qator
G = G[1] ⊇ G[2] ⊇ G[3] ⊇ . . . markaziy qator bo‘lib, uni G gruppaning quyi markaziy qatori deb ataladi.
