O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

4.4.10-teorema. Bizga G chekli gruppa berilgan bo‘lsin. U holda quyidagilar ekvivalent:

1. 
   
   G gruppa nilpotent.
   
2. 
   
   G gruppaning ixtiyoriy maksimal qism gruppasi normal.
   
3. 
   
   G gruppaning ixtiyoriy Silov qism gruppasi normal.
   
4. 
   
   G gruppa p-gruppalarning to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida ifodalanadi.
   

Isbot. 1) ⇒ 2) G gruppa nilpotent bo‘lganligi uchun
{e} = G₀ ⊆ G₁ ⊆ G₂ ⊆ · · · ⊆ G_n = G
markaziy qator mavjud. Aytaylik, H maksimal qism gruppa bo‘lsin, u holda G₀ ⊆ H ⊂ G_n va H /= G bo‘lgani uchun G_m ⊆ H va G_m+1 /⊆ H shartlarni qanoat- lantiruvchi m ≥ 0 soni topiladi. Demak, a ∈ G_m+1, a ∈/ H element mavjud. Endi

aG_m ∈ Z(G/G_m) ekanligidan ixtiyoriy h ∈ H uchun (aG_m)(hG_m) = (hG_m)(aG_m) ekanligiga, ya’ni h⁻¹a⁻¹ha = (ah)⁻¹ha ∈ G_m ⊆ H munosabatga ega bo‘lamiz. Bu esa, a⁻¹ha ∈ H, ya’ni a⁻¹Ha ⊆ H ekanligini anglatadi. Xuddi shunga o‘xshab, aHa⁻¹ ⊆ H munosabatni ham hosil qilish mumkin. Demak, a⁻¹Ha = H, bu esa, a ∈ N (H) ekanligini bildiradi. Natijada biz H /= N (H) munosabatga ega bo‘ldik. H ning maksimalligidan esa, N (H) = G hosil bo‘ladi. Ya’ni H normal qism gruppa.

2. 
   
   ⇒ 3) Faraz qilaylik, G gruppaning biror P Silov p-qism gruppasi beril- gan bo‘lib, u normal qism gruppa bo‘lmasin. G gruppa chekli bo‘lganligi uchun N (P ) qism gruppani o‘z ichiga oluvchi H maksimal qism gruppa mavjud, ya’ni N (P ) ⊆ H. U holda H normal qism gruppa bo‘lib, ixtiyoriy a ∈ G uchun
   

aPa⁻¹ ⊆ aN (P )a⁻¹ ⊆ aHa⁻¹ = H
bo‘ladi. Bu esa, P va aPa⁻¹ Silov p-qism gruppalarining H ga ham qism bo‘lishini bildiradi. Demak, h ∈ H element topilib, h(aPa⁻¹)h⁻¹ = P bo‘ladi. Bundan esa, ha ∈ N (P ) ⊆ H ekanligi, hamda a = h⁻¹(ha) ∈ H kelib chiqadi. Ya’ni H = G bu esa H ning maksimal ekanligiga zid. Demak, P normal qism gruppa.

2. 
   
   ⇒ 4) Agar G gruppaning ixtiyoriy Silov qism gruppasi normal bo‘lsa, u
   

holda G gruppa Silov qism gruppalarning to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida ifodala- nishini ko‘rsatish qiyin emas. Silov qism gruppalari p-gruppalar bo‘lganligi uchun berilgan gruppa p-gruppalarning to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida ifodalanadi.

2. 
   
   ⇒ 1) Ushbu natija 4.4.6-teorema va 4.4.9-teoremalardan bevosita kelib
   

chiqadi.
Biz Silov teoremalari mavzusida kommutativ gruppalar uchun Lagranj teore- masining teskarisi o‘rinli ekanligini ko‘rsatgan edik. Ya’ni kommutativ gruppaning tartibi m ga teng bo‘lib, n soni m ning bo‘luvchisi bo‘lsa, u holda gruppada tar- tibi n ga teng bo‘lgan qism gruppa mavjud bo‘ladi. Quyidagi teoremada nilpotent gruppalar uchun ham Lagranj teoremasining teskarisi o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatamiz.