O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

Halqalar va ideallar
Biz avvalgi boblarda bitta binar amalga ega bo‘lgan algebraik sistemalarni, ya’ni gruppalarni batafsil o‘rgandik. Ushbu bobda esa ikkita binar amal bilan aniqlanu- vchi algebraik sistema bo‘lgan halqa tushunchasini kiritamiz. Gruppadagi ko‘plab tushunchalarning analoglari halqalar uchun ham aniqlanishi bilan bir qatorda, faqat halqalarga tegishli bo‘lgan tushunchalar ham mavjud. Biz ushbu bobda gruppalar nazariyasidan ma’lum bo‘lib, halqalar uchun ham analoglariga ega bo‘lgan xossalarni keltirganimizda, ba’zi tasdiq va teoremalarning isbotlarini qisqacha keltirib ketamiz.

1. Halqalar va ularning turlari

Bizga bo‘sh bo‘lmagan R to‘plam berilgan bo‘lib, unda ikkita binar amal aniqlan- gan bo‘lsin. Ushbu binar amallarni + va · kabi belgilab, ularni shartli ravishda qo‘shish va ko‘paytirish amallari deb ataymiz.
5.1.1-ta’rif. Bo‘sh bo‘lmagan R to‘plamda aniqlangan + va · binar amallari quyidagi shartlarni qanoatlantirsa:

1. 
   
   (R, +) kommutativ gruppa;
   
2. 
   
   (R, ·) yarim gruppa;
   
3. 
   
   Barcha a, b, c ∈ R elementlar uchun
   

a · (b + c) = (a · b) + (a · c), (b + c) · a = (b · a) + (c · a)
u holda (R, +, ·) uchlikka halqa deyiladi.
Boshqacha qilib aytganda, bo‘sh bo‘lmagan R to‘plamdagi + va · binar amallari uchun quyidagi aksiomalar bajarilsa, u holda (R, +, ·) halqa deb ataladi: (R₁) Ixtiyoriy a, b, c ∈ R elementlar uchun (a + b) + c = a + (b + c).
(R₂) Ixtiyoriy a, b ∈ R elementlar uchun a + b = b + a.
153
(R₃) Shunday 0 ∈ R element mavjudki, ixtiyoriy a ∈ R uchun a + 0 = a.

(R₄) Ixtiyoriy a ∈ R uchun shunday −a ∈ R element mavjudki, bunda
a + (−a) = 0.
(R₅) Ixtiyoriy a, b, c ∈ R elementlar uchun (a · b) · c = a · (b · c).
(R₆) Ixtiyoriy a, b, c ∈ R elementlar uchun a · (b + c) = (a · b) + (a · c) va (b + c) · a = (b · a) + (c · a).
Halqadagi 0 elementni halqaning nol elementi deyiladi. Odatda halqalar uchun a·b o‘rniga ab belgilashdan a+(−b) o‘rniga esa a−b belgilashdan foydalanish qabul qilingan.
5.1.1-misol. Z butun sonlar to‘plami odatdagi qo‘shish va ko‘paytirish amallari- ga nisbatan halqa bo‘ladi. Bundan tashqari, ratsional sonlar to‘plami Q, haqiqiy sonlar to‘plami R va kompleks sonlar to‘plami C ham qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil qiladi.