O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

5.1.9-ta’rif. Barcha elementlari idempotent bo‘lgan biri bor halqa Bul halqasi
deyiladi.
Bul halqasiga eng sodda misol (Z₂, +₂, ·₂) halqa bo‘lsa, yana bir Bul halqasiga misol sifatida (P (X), Δ, ∩) halqani keltirishimiz mumkin.
Bul halqalari uchun quyidagi teorema o‘rinli.
5.1.6-teorema. Ixtiyoriy Bul halqasi kommutativ bo‘lib, uning xarakteristikasi 2 ga teng.

∈
Isbot. Aytaylik, R Bul halqasi bo‘lsin. Dastlab uning xarakteristikasi 2 ga teng ekanligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy x R uchun x² = x, xususan, x + x element uchun ham (x + x)² = x + x. Bu tenglikdan x² + x² + x² + x² = 2x, bundan esa, 4x = 2x, ya’ni 2x = 0 kelib chiqadi. Demak, halqaning xarakteristikasi 2 ga teng. Endi R halqaning kommutativligini ko‘rsatamiz. Buning uchun (x + y)² =

x + y tenglikni chap tomonini ochib chiqsak, x + xy + yx + y = x + y, ya’ni xy+yx = 0 kelib chiqadi. Bu tenglikning ikkala tomoniga xy ni qo‘shib, halqaning xarakteristikasi 2 ga teng ekanligidan foydalansak,
xy = 2xy + yx = yx.
Demak, R kommutativ halqa.
5.1.10-ta’rif. Agar x ∈ R element uchun x = xyx tenglikni qanoatlantiradigan y ∈ R element mavjud bo‘lsa, u holda x element regulyar element deyiladi. Bar- cha elementlari regulyar bo‘lgan halqa regulyar halqa deyiladi.
5.1.12-misol. 1) Z halqaning regulyar elementlari 0, 1, -1 lardan iborat bo‘ladi.

2. 
   
   Ixtiyoriy Bul halqasi regulyar halqa bo‘ladi.
   
3. 
   
   Haqiqiy sonlar halqasi R regulyar halqa, lekin Bul halqasi emas.
   

Regulyar halqalar uchun quyidagi teorema o‘rinli.

5.1.7-teorema. Aytaylik, R regulyar halqa bo‘lib, ixtiyoriy x /= 0 element uchun
x = xyx tenglikni qanoatlantiruvchi y ∈ R element yagona bo‘lsin. U holda

1. 
   
   R halqa nolning bo‘luvchisiga ega emas.
   
2. 
   
   x /= 0 element uchun x = xyx ekanligidan y = yxy bo‘lishi kelib chiqadi.
   
3. 
   
   R halqa jism bo‘ladi.
   

Isbot. 1) Aytaylik, x, z noldan farqli elementlar uchun xz = 0 bo‘lsin. Teo- rema shartiga ko‘ra x = xyx tenglikni qanoatlantiruvchi yagona y ∈ R element mavjud. U holda
x(y − z)x = xyx − xzx = xyx
ekanligidan y − z = y tenglikni, ya’ni z = 0 ekanligini hosil qilamiz. Demak, R
halqa nolning bo‘luvchisiga ega emas.

2. 
   
   Noldan farqli x element uchun x = xyx ekanligidan biz quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz
   

x(y − yxy) = xy − x(yxy) = xy − (xyx)y = xy − xy = 0.
R halqa nolning bo‘luvchisiga ega bo‘lmaganligi uchun y −yxy = 0, ya’ni y = yxy.

2. 
   
   Dastlab, teorema shartini qanoatlantiruvchi halqa biri bor halqa ekanligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy x /= 0 element uchun x = xyx tenglikni qanoatlantiruvchi yagona y ∈ R element mavjud. Biz e = xy elementni birlik element bo‘lishini ko‘rsatamiz. Ushbu element noldan farqli bo‘lib,
   

e² = (xy)(xy) = (xyx)y = xy = e.
R halqa nolning bo‘luvchisiga ega emasligini hisobga olsak, ixtiyoriy z ∈ R
element uchun
(ze − z)e = ze² − ze = ze − ze = 0
e(ez − z) = e²z − ez = ez − ez = 0
tengliklardan ze − z = 0 va ez − z = 0 ekanligini, ya’ni ze = ez = z munosabatni hosil qilamiz. Demak, e = xy element birlik element bo‘ladi.

Endi R halqaning ixtiyoriy noldan farqli elementining teskarilanuvchi ekanli- gini ko‘rsatamiz. Aytaylik, x /= 0 bo‘lib, x = xyx bo‘lsin. U holda xyx = xe va xyx = ex, ya’ni x(yx − e) = 0 va (xy − e)x = 0. Bu tengliklardan esa, yx − e = 0 va xy − e = 0 ekanligi kelib chiqadi, chunki R halqa nolning bo‘luvchisiga ega emas. Demak, xy = yx = e, ya’ni x element teskarilanuvchi. Bundan esa, R halqaning jism ekanligini kelib chiqadi.