O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

5.1.3-teorema. Nolning bo‘luvchisiga ega bo‘lmagan halqada qisqartirish qoidasi
o‘rinli, ya’ni, a, b, c ∈ R, a 0 elementlar uchun ab = ac ekanligidan b = c
kelib chiqadi (ba = ca ekanligidan b = c kelib chiqadi ). Bu qisqartirish qoidalari mos ravishda chap va o‘ng qisqartirish qoidalari deb ataladi. Va aksincha, agar qisqartirish qoidalaridan (chap yoki o‘ng ) biri o‘rinli bo‘lsa, u holda R nolning bo‘luvchisiga ega emas.


Isbot. Faraz qilaylik, R nolning bo‘luvchisiga ega bo‘lmasin. Aytaylik, a, b, c ∈ R elementlar uchun ab = ac bo‘lib, a /= 0 bo‘lsin. U holda ab − ac = 0 ekanligidan a(b − c) = 0 kelib chiqadi. R nolning bo‘luvchisiga ega bo‘lmaganligi va a /= 0 ekanligidan b − c = 0, ya’ni b = c kelib chiqadi. Xuddi shunga o‘xshab, ba − ca = 0 ekanligidan ham b = c tenglikni keltirib chiqarish mumkin.
Va aksincha, R halqada qisqartirish qoidalaridan biri aytaylik, chap qisqar- tirish qoidasi o‘rinli bo‘lsin. Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni R halqa nolning bo‘luvchisiga ega bo‘lsin. Aytaylik, a ∈ R element nolning bo‘luvchisi bo‘lsin, ya’ni b /= 0 element topilib ab = 0. U holda ab = a0 ekanligidan va chap qisqar- tirish qoidasi o‘rinliligidan b = 0 kelib chiqadi. Bu esa, a nolning bo‘luvchisi ekanligiga zid. Demak, R nolning bo‘luvchisiga ega emas.

5.1.6-ta’rif. Elementlari soni chekli bo‘lgan halqa chekli halqa, aks holda chek- siz halqa deyiladi.
Chegirmalar halqasi (Z_n, +_n, ·_n) chekli halqa bo‘lsa, (Z, +, ·), (Q, +, ·)(R, +, ·) va (M_n(R), +, ·) halqalar cheksiz halqalar bo‘ladi. Bundan tashqari, (Z_n, +_n, ·_n) halqa n murakkab son bo‘lgan holda nolning bo‘luvchisiga ega bo‘lgan halqa bo‘ladi. Masalan, (Z₆, +₆, ·₆) halqada 2 · 3 = 0, ya’ni 2 va 3 nolning bo‘luvchilari.
Quyidagi teoremada nolning bo‘luvchisiga ega bo‘lmagan chekli kommutativ halqa maydon bo‘lishini ko‘rsatamiz.