O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

5.1.5-teorema. Butunlik sohasining xarakteristikasi faqat nolga yoki tub songa teng bo‘ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, R butunlik sohasi chekli xarakteristikaga ega bo‘lib, u murakkab n soniga teng bo‘lsin. U holda n = n₁n₂, 1 < n₁, n₂ < n hamda ixtiyoriy a ∈ R uchun na = 0, xususan n1 = 0. U holda 0 = n1 = (n₁n₂)1 = (n₁1)(n₂1) bo‘ladi. R nolning bo‘luvchisiga ega bo‘lmaganligi uchun n₁1 = 0 yoki n₂1 = 0. Agar n₁1 = 0 bo‘lsa, u holda ixtiyoriy a ∈ R uchun n₁a = n₁(1a) = (n₁1)a = 0. Bu esa, halqaning xarakteristikasi n ekanligiga, ya’ni n ning minimalligiga zid. Xuddi shunday, n₂1 = 0 ekanligidan ham ziddiyat kelib chiqadi. Demak, n tub son.
Endi halqaning nilpotent va idempotent elementlari tushunchalarini kiritamiz.
5.1.8-ta’rif. Agar halqaning a ∈ R elementi uchun a² = a shart bajarilsa, u holda bu element idempotent element deb ataladi. Agar qandaydir n natural son uchun aⁿ = 0 bo‘lsa, u holda bu element nilpotent element deb ataladi.
Halqaning nilpotent va idempotent elementlari uchun quyidagi sodda xossalar o‘rinli.

1. 
   
   Agar a ∈ R element idempotent bo‘lsa, u holda u nilpotent emas.
   
2. 
   
   Agar a ∈ R element nilpotent bo‘lsa, u holda u teskarilanuvchi emas.
   

3. 
   
   Agar a ∈ R element nilpotent bo‘lsa, u holda u nolning bo‘luvchisi bo‘ladi.
   
4. 
   
   Agar R kommutativ halqa bo‘lib, a va b elementlar nilpotent bo‘lsa, u holda
   

a + b ham nilpotent bo‘ladi.

5. 
   
   Agar R birlik elementli, nolning bo‘luvchilariga ega bo‘lmagan halqa bo‘lsa, u holda halqaning 0 va 1 dan boshqa idempotent elementlari mavjud emas.
   

5.1.11-misol. Z₁₂ halqaning idempotent elementlari 0, 1, 4 va 9, nilpotent ele- mentlari esa 0 va 6 lardan iborat bo‘ladi.

2. Bul va regulyar halqalar

Biz endi ba’zi muhim halqalarni, ya’ni Bul va regulyar halqalarni keltirib o‘tamiz.