O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

5.2.3-teorema. Ixtiyoriy sondagi bo‘sh bo‘lmagan chap (o‘ng ) ideallarning ke- sishmasi ham chap (o‘ng ) ideal bo‘ladi.
Endi R halqaning X qism to‘plami orqali hosil qilingan ideal tushunchasini kiritamiz. Berilgan X to‘plamni o‘z ichiga oluvchi ideallarning kesishmasiga X to‘plam orqali hosil qilingan ideal deyiladi va ⟨X⟩ kabi belgilanadi. Ma’lumki, ushbu ⟨X⟩ ideal X to‘plamni o‘z ichiga oluvchi eng kichik ideal bo‘ladi. X to‘plamni o‘z ichiga oluvchi chap va o‘ng ideallarning kesishmalari esa mos ra- vishda ⟨X⟩_l va ⟨X⟩_r orqali belgilanadi. Agar X to‘plam bitta elementdan iborat, ya’ni X = {a} bo‘lsa, u holda ⟨{a}⟩ belgilash o‘rniga ⟨a⟩ belgilashdan foydalanilib, ushbu idealga bosh ideal deb ataladi.



5.2.4-ta’rif. Barcha ideallari bosh ideal bo‘ladigan halqaga bosh ideallar halqasi deb ataladi.
Butun sonlar halqasi bosh ideallar halqasi bo‘ladi. Chunki, butun sonlar halqasining barcha ideallari nZ ko‘rinishida bo‘lib, nZ = ⟨n⟩. Ya’ni, Z halqaning barcha ideallari bosh ideal bo‘ladi.



5.2.4-teorema. Aytaylik, R halqa va uning bo‘sh bo‘lmagan X qism to‘plami berilgan bo‘lsin. U holda ushbu to‘plam orqali hosil qilingan chap va o‘ng ideallar uchun quyidagilar o‘rinli:

⟨X⟩_l =

⟨X⟩_r =

k

(_Σ

(_Σ

l
i=1 k

i=1

l
r_ia_i +

a_ir_i +
Σj=1 Σj=1
n_jb_j | r_i ∈ R, n_j ∈ Z, a_i, b_j ∈ X) , n_jb_j | r_i ∈ R, n_j ∈ Z, a_i, b_j ∈ X) .

Isbot. Aytaylik, A =
k i=1

r_ia_i +

l j=1
n_jb_j | r_i ∈ R, n_j ∈ Z, a_i, b_j ∈ X)

(Σ

Σ
bo‘lsin. Biz A = ⟨X⟩_l ekanligini ko‘rsatamiz. ⟨X⟩_l to‘plam barcha chap ideallar- ning kesishmasi bo‘lganligi uchun X ⊆ ⟨X⟩_l munosabat o‘rinli. Bundan tashqari,
⟨X⟩_l to‘plam yig‘indiga va halqaning biror elementiga chapdan ko‘paytirishga nisbatan yopiq bo‘lganligi uchun A to‘plamning ixtiyoriy elementi ⟨X⟩_l idealda yotishi kelib chiqadi. Demak, A ⊆ ⟨X⟩_l.
Endi ushbu munosabatning teskarisi o‘rinli ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun A to‘plam X to‘plamni o‘z ichiga oluvchi chap ideal bo‘lishini ko‘rsatish kifoya. Ixtiyoriy x ∈ X uchun x = 0 · x + 1x ekanligidan x ∈ A kelib chiqadi, ya’ni X ⊆ A. Bundan tashqari A to‘plamning ixtiyoriy a, b ∈ A elementlari va r ∈ R element uchun a − b ∈ A va ra ∈ A ekanligini ko‘rsatish qiyin emas. Demak, A to‘plam X to‘plamni o‘z ichiga oluvchi chap ideal bo‘ladi. Bu esa ⟨X⟩_l ⊆ A ekanligini bildiradi. Demak, A = ⟨X⟩_l.
Teoremadagi ikkinchi tenglik ham birinchisi kabi ko‘rsatiladi.
Agar R halqa biri bor halqa bo‘lsa, u holda yuqoridagi teoremadagi tengliklar quyidagi ko‘rinishga keladi:

⟨X⟩_l =
⟨X⟩_r =

k

(_Σ

(_Σ
i=1 k

i=1
r_ia_i | r_i ∈ R, a_i ∈ X) ,

a_ir_i | r_i ∈ R, a_i ∈ X) .

Bosh ideallar uchun esa quyidagi munosabatlarni olamiz.