O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

5.2.2-ta’rif. Agar R halqaning bo‘sh bo‘lmagan I qism to‘plami uchun (1) va (2)
shartlar o‘rinli bo‘lsa, u holda I to‘plam R halqaning chap ideali deb ataladi.
Agar (1) va (3) shartlar o‘rinli bo‘lsa, u holda I to‘plam R halqaning o‘ng ideali deb ataladi.
Agar (1), (2) va (3) shartlar o‘rinli bo‘lsa, u holda I to‘plam R halqaning ikki yoqlama ideali deb ataladi.

Ikki yoqlama ideallar qisqacha ideal deb ham nomlanadi. Ta’kidlash joizki, ixtiyoriy R halqada {0} va R to‘plamlar ideal bo‘lib, ular R halqaning trivial ideallari deyiladi. Trivial bo‘lmagan ideallarga notrivial ideallar deyiladi.

5.2.3-ta’rif. Agar R halqaning notrivial ideallari mavjud bo‘lmasa, u holda bun- day halqaga sodda halqa deb ataladi.
Quyida butun sonlar va matritsalar halqalarining ba’zi ideallariga misollar keltiramiz.
5.2.3-misol. 1) nZ to‘plam (Z, +, ·) halqaning ideali bo‘ladi.
2) (M₂(R), +, ·) halqaning quyidagi qism to‘plamlarini qaraylik:

b 0

1
I = ^{a 0} | a, b ∈ R ,

_{I =} a b
² 0 0
| a, b ∈ R ,

0 0

3
I = ^{a 0} | a ∈ R .


I₁ to‘plam M₂(R) halqaning chap ideali, I₂ to‘plam esa o‘ng ideali bo‘ladi. I₃
to‘plam M₂(R) halqaning qism halqasi bo‘lib, ideal tashkil qilmaydi.
Endi halqaning markazi tushunchasini kiritamiz. Bizga qandaydir R halqa berilgan bo‘lsin, ushbu
C(R) = {a ∈ R | ab = ba, ∀ b ∈ R}
to‘plamga R halqaning markazi deb ataladi. Ravshanki, R kommutativ halqa bo‘lishi uchun R = C(R) bo‘lishi zarur va yetarli.
Ta’kidlash joizki, ixtiyoriy halqaning markazi qism halqa bo‘ladi, chunki
∀a, b ∈ C(R) elementlar uchun ax = xa va bx = xb bo‘lib, bundan esa (a − b)x = ax − bx = xa − xb = x(a − b),
(ab)x = a(bx) = a(xb) = (ax)b = (xa)b = x(ab)

kelib chiqadi, ya’ni a − b, ab ∈ C(R). Demak, C(R) qism halqa. Lekin halqa- ning markazi ideal bo‘lishi shart emas. Masalan, M₂(R) matritsalar halqasining

markazi ^{a 0}

0 a
ko‘rinishidagi matritsalardan iborat bo‘lib, ideal tashkil qil-

maydi.
Aytaylik, R kommutativ halqa va I uning ideali bo‘lsin. Quyidagi to‘plamni aniqlaymiz

AnnI = {r ∈ R | r · a = 0, ∀a ∈ I}.

Ushbu to‘plam R halqaning I ideali bo‘yicha annulyatori deb ataladi. Halqan- ing biror ideali bo‘yicha annulyatori ideal tashkil qilishini ko‘rsatish qiyin emas. Haqiqatdan ham, agar r₁, r₂ ∈ AnnI bo‘lsa, u holda ∀a ∈ I uchun r₁a = r₂a = 0. Quyidagi

(r₁ − r₂) · a = r₁ · a − r₂ · a = 0, (x · r) · a = x · (r · a) = 0
tengliklardan r₁ − r₂ ∈ AnnI va ∀x ∈ R uchun x · r ∈ AnnI ekanligi kelib chiqadi.
Biz 5.2.2-teoremada qism halqalarning kesishmasi yana qism halqa ekanligini ko‘rsatgan edik. Xuddi shunga o‘xshab ideallarning ham kesishmasi yana ideal bo‘lishini ko‘rsatish qiyin emas. Ya’ni quyidagi teorema o‘rinli.