O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

5.2.6-teorema. R halqaning A, B, C va A₁, A₂, . . . , A_n ideallari uchun quyidagi- lar o‘rinli:

1. 
   
   A + A = A.
   
2. 
   
   A + B = B + A.
   

3) (A + B) + C = A + (B + C).

4. 
   
   A₁ + A₂ + · · · + A_n ham ideal bo‘ladi.
   

4. 
   
   (AB)C = A(BC).
   
5. 
   
   AB ham ideal bo‘ladi.
   

7) B(A₁ + A₂ + · · · + A_n) = BA₁ + BA₂ + · · · + BA_n.
8) (A₁ + A₂ + · · · + A_n)B = A₁B + A₂B + · · · + A_nB.
Isbot. Teoremaning isboti idealning ta‘rifidan va induksiya metodini qo‘llash orqali to‘g‘ridan-to‘g‘ri kelib chiqadi.
Biz endi faktor gruppalar kabi faktor halqa tushunchasini kiritamiz. Ay- taylik, R halqaning I ideali berilgan bo‘lsin. Ma’lumki, (I, +) additiv gruppa (R, +) gruppaning normal bo‘luvchisi bo‘ladi. U holda biz R/I faktor gruppani aniqlashimiz mumkin, ya’ni R/I to‘plamning a + I va b + I elementlari uchun
(a + I) + (b + I) = (a + b) + I.
Endi ushbu elementlarning ko‘paytmasini (a + I) · (b + I) = ab + I kabi aniqlaymiz. Demak, R/I to‘plamda qo‘shish va ko‘paytirish amallari aniqlandi.
5.2.7-teorema. (R/I, +, ·) to‘plam halqa tashkil qiladi.
Isbot. Dastlab, R/I to‘plamda aniqlangan ko‘paytirish amalini to‘g‘ri aniqlanganligini isbotlaymiz. Ya’ni agar a + I = a^′ + I va b + I = b^′ + I bo‘lsa, u holda ab + I = a^′b^′ + I ekanligini ko‘rsatamiz. a^′ ∈ a^′ + I = a + I bo‘lganligi uchun, shunday x ∈ I element topilib, a^′ = a + x bo‘ladi. O‘z navbatida, b^′ ∈ b + I bo‘lganligi uchun qandaydir y ∈ I element uchun b^′ = b + y. U holda
a^′b^′ = (a + x)(b + y) = ab + ay + xb + xb.
Bundan esa a^′b^′ − ab = ay + xb + xb ∈ I ekanligi kelib chiqadi, ya’ni
ab + I = a^′b^′ + I.
R/I to‘plamda ko‘paytirish amaliga nisbatan assosiativlikning o‘rinli bo‘lishi va destributivlik shartining bajarilishi esa ko‘paytmaning aniqlanishidan va 5.2.6- teoremadan bevosita kelib chiqadi.
Yuqorida aniqlangan (R/I, +, ·) halqaga R halqaning I ideali bo‘yicha faktor
halqasi deb ataladi. Masalan, Z butun sonlar halqasining I = nZ ideali bo‘yicha faktor halqasi
Z/nZ = {nZ, 1 + nZ, . . . , n − 1 + nZ}
sinflardan iborat bo‘ladi.
5.2.4-misol. Agar R halqaning ixtiyoriy a ∈ R elementi uchun a² + a ∈ C(R)
bo‘lsa, u holda halqaning kommutativ ekanligini isbotlang.


Yechish. Aytaylik, a, b ∈ R bo‘lsin, u holda a² + a, b² + b ∈ C(R). Ikkinchi tomondan esa, (a + b)² + a + b ∈ C(R), ya’ni a² + ab + ba + b² + a + b ∈ C(R). Bu munosabatdan esa, ab + ba ∈ C(R) ekanligi kelib chiqadi. Demak, a(ab + ba) = (ab + ba)a, ya’ni a²b = ba². Bu esa a² ∈ C(R) ekanligini bildiradi. a² + a ∈ C(R) ekanligidan esa a ∈ C(R) kelib chiqadi. Shunday qilib, biz R halqaning ixtiyoriy a ∈ R elementi uning markazida yotishini ko‘rsatdik. Demak, R kommutativ halqa. Q