O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

5.3.4-teorema (izomorfizm haqidagi ikkinchi teorema). R halqaning I va
^{J ideallari uchun I/(I ∩ J) ∼}= ^{(I + J)/J munosabat o‘rinli.}
5.3.5-teorema (izomorfizm haqidagi uchinchi teorema). R halqaning I va
J ideallari uchun I ⊆ J bo‘lsa, u holda
^{(R/I)/(J/I) ∼}= ^R/J.
Quyidagi teoremada esa gruppalar nazariyasidagi kabi halqalar uchun moslik teoremasini keltiramiz.

⊆
5.3.6-teorema (moslik teoremasi). Aytaylik, R halqani R^′ halqaga akslanti- ruvchi f epimorphizm berilgan bo‘lsin. U holda R halqaning Kerf I shartni qanoatlantiruvchi ideallari to‘plami bilan R^′ halqaning ideallari to‘plami orasida o‘zaro bir qiymatli moslik mavjud.

Endi ixtiyoriy halqani biri bor halqaga kengaytirish mumkinligini, ya’ni ixtiy- oriy halqa uchun shunday biri bor halqa topilib, bu halqalar orasida monomorfizm mavjudligini ko‘rsatamiz.

Bizga R halqa berilgan bo‘lsin. R^′ = R × Z to‘plamda
(x, a) + (y, b) = (x + y, a + b), (x, a) · (y, b) = (xy + ay + bx, ab)
amallarni qarasak, R^′ to‘plam ushbu amallarga nisbatan halqa tashkil qiladi. Ushbu halqa biri bor halqa bo‘lib, (0, 1) element uning birlik elementi bo‘ladi. Bundan tashqari, f (x) = (x, 0) kabi aniqlangan f : R → R × Z akslantirish monomorfizm bo‘ladi.


5.3.1-tasdiq. Agar R halqadan birlik elementli S halqaga ϕ gomomorfizm berilgan bo‘lsa, u holda ϕ = ψ ◦ f shartni qanoatlantiruvchi ψ : R × Z → S gomomorfizm mavjud, bu yerda f : R → R × Z bo‘lib, f (x) = (x, 0).
Isbot. ψ : R × Z → S akslantirishni ψ(x, a) = ϕ(x) + a1_S kabi aniqlaymiz, bu yerda 1_S element S halqaning birlik elementi. U holda ixtiyoriy x ∈ R uchun
(ψ ◦ f )(x) = ψ(f (x)) = ψ(x, 0) = ϕ(x)

tenglik o‘rinli, ya’ni ϕ = ψ ◦ f. Bundan tashqari ushbu akslantirish gomomorfizm bo‘ladi, chunki

ψ (x, a) + (y, b) = ψ(x + y, a + b) = ϕ(x + y) + (a + b)1_S =

= ϕ(x) + ϕ(y) + a1_S + b1_S = ψ(x, a) + ψ(y, b),
ψ (x, a) · (y, b) = ψ(xy + ay + bx, ab) = ϕ(xy + ay + bx) + (ab)1_S =
ϕ(x)ϕ(y) + aϕ(y) + bϕ(x) + ab1_S = (ϕ(x) + a1_S) · (ϕ(y) + b1_S) = ψ(x, a) · ψ(y, b).