O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

5.4.1-ta’rif. Agar shunday n natural son topilib, Iⁿ = {0} bo‘lsa, u holda I nilpotent ideal deb ataladi. Ixtiyoriy elementi nilpotent bo‘lgan ideal esa nil ideal deb ataladi.
Ta’rifdan ko‘rinadiki, ixtiyoriy nilpotent ideal nil ideal bo‘ladi. Lekin teskarisi o‘rinli bo‘lishi shart emas. Z₈ chegirmalar halqasining I = {0, 4} ideali ham nil, ham nilpotent ideal bo‘lsa, quyidagi misolda nil bo‘lib, nilpotent bo‘lmaydigan idealga misol keltiramiz.



5.4.1-misol. p tub soni uchun chekli hadi noldan farqli bo‘lgan {a_n}, a_n ∈ Z_pⁿ ketma-ketliklarni qaraymiz, ya’ni qandaydir m sonidan katta barcha k lar uchun a_k = 0. Endi R orqali bunday ketma-ketliklardan tuzilgan to‘plamni belgilab, bu to‘plamda qo‘shish va ko‘paytirish amallarini quyidagicha aniqlaymiz
{a_n} + {b_n} = {a_n + b_n}, {a_n} · {b_n} = {a_n · b_n}.

m
U holda R to‘plam ushbu amallarga nisbatan halqa tashkil qiladi. Endi bu halqaning {pa_i} ko‘rinishidagi ketma-ketliklardan iborat qism to‘plamini I orqali belgilaymiz. Ushbu I to‘plam R halqaning ideali bo‘lib, uning ixtiyoriy elementi nilpotent bo‘ladi, chunki ixtiyoriy a_n ∈ I element (pa₁, pa₂, pa₃, . . . , pa_m, 0, 0, . . . ) ko‘rinishida bo‘lib,

{a_n}

= (p^m
a₁, p^m
a₂, p^m
a₃, . . . , p^m
a_m, 0, 0, . . . ) = {0}.

(0, 0, . . . , 0, p^m, 0, 0, . . . ) bo‘ladi. p^m element Z_p^m+1 da noldan farqli bo‘lganligi

Demak, I nil ideal. Endi ushbu idealning nilpotent emasligini ko‘rsatamiz. Teskarisini faqaz qilaylik, ya’ni I nilpotent ideal bo‘lsin, u holda qandaydir m ∈ N natural soni uchun I^m = {0}. Endi m + 1 ta hadi p ga teng bo‘lgan {a_n} ketma-ketlikni qaraymiz, ya’ni {a_n} = (p, p, . . . , p, p, 0, 0, . . . ). U holda {a_n}^m =
^` m+^˛1^¸ ta ^x

` m˛¸ta x m m

uchun {a_n}

ham I idealning noldan farqli elementi bo‘ladi. Bu esa I

= {0}
ekanligiga zid. Demak, I nilpotent emas.

Aytaylik, R kommutativ halqa, I esa uning nilpotent elementlaridan tashkil topgan qism to‘plami bo‘lsin. Ma’lumki, kommutativ halqada nilpotent element- larning ayirmasi yana nilpotent element bo‘ladi. Bundan tashqari, ixtiyoriy a ∈ I va x ∈ R elementlar uchun (xa)ⁿ = xⁿaⁿ tenglikdan xa ∈ I ekanligi kelib chiqadi. Ya’ni I nil ideal bo‘ladi.